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线性代数第13讲
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§ 线性方程组解的结构
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对于线性方程组(), 当r(A b)=r(A)=r<n时, A中不为零的r阶子式所含的r个列以外的n-r个列对应的未知量称为自由未知量; 当r<m时, A中不为零的r阶子式所含的r个行所对应的r个方程以外的m-r个方程是多余的, 可删去而不影响()的解.又r(A b)=r(A)=r<n时, ()有无穷多个解, 为什么()代表了它的全部解?下面我们来讨论与这一问题有关的方程组解的结构.
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(一)齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组()的矩阵形式为 Ax=o其中
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()的解有下列性质:(1) 如果v1,v2是齐次线性方程组()的两个解, 则v1+v2也是它的解.证: 因为v1,v2都是方程组的解, 因此 Av1=o, Av2=o A(v1+v2)=Av1+Av2=o+o=o即v1+v2也是方程组()的解.
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(2) 如果v是齐次线性方程组()的解, 则cv也是它的解(c是常数).证: 由Av=o得 A(cv)=c(Av)=co=o(3) 如果v1,v2,,vs都是齐次线性方程组()的解, 则其线性组合 c1v1+c2v2++csvs也是它的解. 其中c1,c2,,cs都是任意常数.
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由此可知, 如果一个齐次线性方程组有非零解, 则它就有无穷多解, 这无穷多解就构成了一个n维向量组. 如果我们能求出这个向量组的一个极大无关组, 就能用它的线性组合来表示它的全部解. 如果v1,v2,,vs是齐次线性方程组()的解向量组的一个极大无关组, 则称v1,v2,,vs是方程组()的一个基础解系.
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如果齐次线性方程组()的系数矩阵A的秩r(A)=r<n, 则方程组的基础解系存在, 且每个基础解系中, 恰含有n-r个解.
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证: 因为r(A)=r<n, 所以对方程组()的增广矩阵(A,o)施以初等行变换, 可化为如下的形式:
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即方程组()与下面的方程组同解:
其中xr+1,xr+2,,xn为自由未知量.
对n-r个自由未知量分别取
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