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§ 向量组的秩
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上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时矩阵的秩起了十分重要的作用为使讨论进一步深入下面把秩的概念引进向量组
最大无关组及向量组的秩
设有向量组A如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar满足
(1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关
(2)向量组A中任意r1个向量都线性相关
那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩记作RA
注
最大无关组也称为最大线性无关向量组
只含零向量的向量组没有最大无关组规定它的秩为0
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最大无关组及向量组的秩
设有向量组A如果在A中能选出r个向量a1 a2 ar满足
(1)向量组A0 a1 a2 ar线性无关
(2)向量组A中任意r1个向量都线性相关
那么向量组A0称为向量组A的一个最大无关组最大无关组所含向量的个数r称为向量组A的秩记作RA
只含零向量的向量组没有最大无关组规定它的秩为0
向量组的最大无关组一般不是唯一的例如
已知
a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
因为a1 a3和a2 a3都是线性无关组而a1 a2 a3线性相关
所以a1 a3和a2 a3都是向量组a1 a2 a3的最大无关组
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定理1
矩阵的秩等于它的列向量组的秩也等于它的行向量组的秩
设A( a1 a2 am) R(A)r并设r阶子式Dr0
由Dr0知Dr所在的r列线性无关又由A中所有r1阶子式均为零知A中任意r1个列向量都线性相关因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组所以A的列向量组的秩等于r
类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A)
证明
注
由上述证明可知若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组 Dr所在的r行即是A的行向量组的一个最大无关组
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我们知道n维单位坐标向量构成的向量组
E e1 e2 en
是线性无关的
例1 全体n维向量构成的向量组记作Rn求Rn的一个最大无关组及Rn的秩
解
因此向量组E是Rn的一个最大无关组且Rn的秩等于n
又知Rn中的任意n1个向量都线性相关
显然 Rn的最大无关组很多任何n个线性无关的n维向量都是Rn的最大无关组
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注
今后向量组A a1 a2 am的秩RA也记为R(a1 a2 am)
定理2(最大无关组的等价定义)
设向量组A0 a1 a2 ar是向量组A的一个部分组且满足
(1)向量组A0线性无关
(2)向量组A的任一向量都能由向量组A0线性表示
那么向量组A0便是向量组A的一个最大无关组
只要证向量组A中任意r1个向量线性相关
设b1 b2 br1是A中任意r1个向量由条件(2)知这r1个向量能由向量组A0线性表示所以有
R(b1 b2 br1)R(a1 a2 ar)r
证
从而r1个向量b1 b2 br1线性相关
因此向量组A0是向量组A的一个最大无关组
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例2 设齐次线性方程组
的全体解向量构成的向量组为S求S的秩
解
线性方程组的通解为
>>>
因为12的四个分量显然不成比例故12线性无关又因为S能由向量组12线性表示所以12是S的最大无关组从而RS2
其中c1 c2为任意常数
把上式记作xc11c22知
S{x| xc11c22 c1 c2R}
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提示
今后记号R(a1 a2 am)既可理解为矩阵的秩也可理解成向量组的秩
设向量组A a1 a2 am构成矩阵A(a1 a2 am)则有
RAR(a1 a2 am)R(A)
(1)向量b能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是
R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b)
(2)向量组b1 b2 bl能由向量组a1 a2 am线性表示的充要条件是
R(a1 a2 am)R(a1 a2 am b1 b2 bl)
改用向量组的秩陈述的几个定理
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