立体几何知识点概括.doc

立体几何知识点概括.doc立体几何知识点概括
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若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合,则叫做封闭的空间折线.
若封闭的空间折线各线段彼此不相交,则叫做这空间多边形平面,平面是一个不定义的概念,几何里的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示,也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示,如平面AC.
在立体几何中,大写字母A,B,C,…表示点,小写字母,a,b,c,…l,m,n,…表示直线,且把直线和平面看成点的集合,因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系,例如:
A∈l—点A在直线l上;Aα—点A不在平面α内;
lα—直线l在平面α内;
aα—直线a不在平面α内;
l∩m=A—直线l与直线m相交于A点;
α∩l=A—平面α与直线l交于A点;
α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面.
根据上面的公理,可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.
直接证法

反证法
证题方法

间接证法

同一法

共面平行—没有公共点
(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行,又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点
(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)
平行—没有公共点

证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

(1)两直线平行的判定
①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行,即若a∥α,aβ,α∩β=b,则a∥b.
③平行于同一直线的两直线平行,即若a∥b,b∥c,则a∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即若α∩β=b,a∥α,a∥β,则a∥b.
(2)两直线垂直的判定
①定义:若两直线成90°角,则这两直线互相垂直.
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,∥c,a⊥b,则a⊥c
③一条直线垂直于一个平面,⊥α,bα,a⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理:在平面内的一条直线,若和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行,∥α,b⊥α,则a⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即若α⊥β,β⊥γ,γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,则a⊥b,b⊥c,c⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,,bα,a∥b,则a∥α.
③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α∥β,lα,则l∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,⊥β,l⊥β,lα,则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点,如果它们与这个平面的距离相等,那么过这两个点的直线与这个平面平行,即若Aα,Bα,A、B在α同侧,且A、B到α等距,则AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即若α∥β,aα,aβ,a∥α,则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平面垂直,则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即若a⊥α,bα,b⊥a,则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内),即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义:若一条直线