09 第一小节 数量值函数的曲线积分.ppt

第八章曲线积分与曲面积分
积分学定积分二重积分三重积分
积分域区间平面空间
曲线积分
曲线
曲面
曲线积分
曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
曲面积分
第一节数量值函数的曲线积分 (第一类曲线积分)
一、第一类曲线积分的概念和性质
二、第一类曲线积分的计算
三、几何与物理意义
一、第一类的曲线积分的概念1、问题的提出
引例1(柱面的面积):设是一张母线平行于z轴,准线为xoy面上曲线L的柱面的一部分,其高度h(x,y)在L上连续, 求柱面的面积A.
若高度h(x,y)为常数 h,
则 A=hs .
(s为曲线L的长度.)
若高度为函数h(x, y),
取近似
分割
求和
取极限
近似值
精确值
引例2(曲线形构件的质量):设有一曲线形构件占xoy面上的一段曲线L, 其线密度(x,y)在L上连续,求曲线形构件的质量M.
匀质之质量
分割
求和
取极限
近似值
精确值
非匀质之质量:设密度为(x, y)
则 M=s .
取近似
记作
1. 定义
即
其中f (x,y)叫被积函数, L叫积分弧, ds叫弧长元素.
数量值函数的曲线积分也称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分.
规定:封闭曲线L上的曲线积分记为
2 、对弧长曲线积分存在的条件:
1) 若f (x, y)在光滑曲线L上连续, 则必存在.
2) f (x,y)在L上有界且只有有限个间断点时,
必存在.
3、对弧长曲线积分的性质
1) 设, 为常数, 则有
2) 设L=L1+L2, 则
3) 设在L有f (x,y) g (x,y), 则有
4) (中值定理) 设函数f (x,y)在光滑曲线L上连续,则在L上必存在一点(,), 使
其中s是曲线L的长度.
二、第一类曲线积分的计算
基本思路:
计算定积分
转化
求第一类曲线积分
定理
说明: 1. 定积分的下限一定要小于上限.
2. f (x, y) 定义在曲线 L上, 即 x, y 要满足L的方程.
因此计算公式相当于“换元法”.