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实验五线性方程组求解
线性方程组的求解问题是线性代数要解决的核心问题之一,运用Matlab来求解线性方程组的方案很多,本节我们尽可能多的全面详细地介绍这方面的问题。
一、实验目的
本实验旨在使同学熟练掌握运用Matlab求解线性方程组。
二、实验内容
1、判别线性方程组解的情况
要解线性方程组,首先要对其解的情况进行判别,是有解还是无解,有解时,是有唯一解还是无穷多解,这些是求解线性方程组的第一步,Matlab为此提供了必备的命令。下面我们就讨论这方面内容。
(1)运用命令行
例1:判别如下方程组解的情况
下面用Ab表示方程组的增广矩阵,A表示系数阵,判别的命令与结果如下:
>> Ab=[2 4 3 2 2;3 6 5 2 2;2 5 2 -3 3;4 5 14 14 11]
Ab =
2 4 3 2 2
3 6 5 2 2
2 5 2 -3 3
4 5 14 14 11
>> A=Ab(:,1:4) %取Ab的前四列构成系数阵A
A =
2 4 3 2
3 6 5 2
2 5 2 -3
4 5 14 14
>> r1=rank(Ab)
r1 =
4
>> r2=rank(A)
r2 =
4
由此可见,系数阵的秩与增广阵的秩相等并且等于未知数的个数,由判定定理我们有上述方程组有唯一解。
例2
下面用Ab表示方程组的增广矩阵,A表示系数阵,判别的命令与结果如下:
>> Ab=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 0;2 3 4 5 -1]
Ab =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
2 3 4 5 -1
>> A=Ab(:,1:4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
2 3 4 5
>> rank(Ab)
ans =
3
>> rank(A)
ans =
2
由此,我们可见系数阵的秩为2增广阵的秩为3,故上述方程组无解。
例3
下面用Ab表示方程组的增广矩阵,A表示系数阵,判别的命令与结果如下:
>> Ab=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 0;2 3 -1 5 -1]
Ab =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
2 3 -1 5 -1
>> A=Ab(:,1:4)
A =
1 1 1 1
1 2 3 4
2 3 -1 5
>> rank(Ab)
ans =
3
>> rank(A)
ans =
3
由此,我们可见系数阵的秩为3增广阵的秩为3,但秩数小于未知数的个数,故上述方程组有解,且有无穷多解。
(2)自编程序
程序如下:
function fczj(Ab) % Ab为该方程组的增广阵
[m,n]=size(Ab);
A=Ab(:,1:n-1); % A为系数矩阵
r1=rank(A);
r2=rank(Ab);
if r1<r2
disp('该方程组无解');
else
disp('该方程组有解');
if r1==n-1
disp('且有唯一解');
else
disp('且有无穷多解');
end
end
保存文件,运行如下:
>> Ab=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 0;2 3 4 5 -1]
Ab =
1 1 1 1 1
1 2 3 4 0
2 3 4 5 -1
>> fczj(Ab)
该方程组有解
且有无穷多解
说明:只需输入方程组的增广阵即可。
2、有唯一解时求解
当我们判别了方程组有唯一解的时候求解的方法如下:
(1)利用左除
例:
通过前面的判别我们知道该方程组有唯一解,下面是求解的过程:
>>Ab=[2 4 3 2 2;3 6 5 2 2;2 5 2 -3 3;4 5 14 14 11]
Ab =
2 4 3 2 2
3 6 5 2 2
2 5 2 -3 3
4 5 14 14 11
>> A=Ab(:,1:4)
A =
2 4 3 2
3 6 5 2
2 5 2 -3
4 5 14 14
>> b=Ab(:,5)
b =
2
2
3
11
>> x=A\b
x =
-



解已求出,但我们看到求出的为近似解,下面是获得精确解的方法(以下命令接上):
>> A=sym(A)
A =
[ 2, 4, 3, 2]
[ 3, 6, 5, 2]
[ 2, 5, 2, -3]
[ 4, 5, 1