郭硕红(第三版)电动力学习题答案__很完整.pdf

电动力学****题解答第一章电磁现象的普遍规律
1. 根据算符∇的微分性与矢量性推导下列公式
r rr r r rr r r r
∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)()()()()( BABAABABBA
1 2 rrrrr
)( ∇⋅−∇=×∇× )( AAAAA
2
v vv v v vv v v v
解 1 ∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇)()()()()( BABAABABBA
首先算符∇是一个微分算符其具有对其后所有表达式起微分的作用对于本题
v v
∇将作用于和BA
又∇是一个矢量算符具有矢量的所有性质
v v v
因此利用公式 vv vv ⋅−⋅⋅=×× vv )()()( bacbcabac 可得上式其中右边前两项是∇作用于
v v
A 后两项是∇作用于 B
v v
2 根据第一个公式令 A B 可得证
2. 设 u 是空间坐标 x y z 的函数证明
df
uf )( ∇=∇ u
du
r
r Ad
)( uuA ⋅∇=⋅∇
du
r
r Ad
)( uuA ×∇=×∇.
du
证明
1
∂ uf ∂ uf ∂ uf )()()( df df ∂u df ∂u df
uf )( =∇ e + e + errr ∂u er ⋅+⋅= er ⋅+ er ∇= u
∂x x ∂y y ∂z z du ∂x x du ∂y y du ∂z z du
2 课后答案网
r r r r r r r
r ∂ uA )( ∂ y uA )( ∂ uzA )( uAd )( ∂u y uAd )( ∂u uAd )( ∂u Ad
uA )( =⋅∇ x + + z x ⋅= ⋅+ z ⋅+ u ⋅∇=
∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
3
eee rrr
x y z r r r r r r
r ∂∂∂∂A ∂Ay ∂A ∂A ∂Ay ∂A
uA )( =×∇= z − er + x − z er + − x )()()( er =
∂∂∂zyx ∂y ∂z x ∂z ∂x y ∂x ∂y z
rrr
)( yux z uAuAA )()(

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电动力学****题解答第一章电磁现象的普遍规律
r r r r r r r
Ad ∂u Ad ∂u Ad ∂u Ad ∂u Ad ∂u Ad ∂u Ad
= ( z − y er + () x − z er + () y − x )r ue ×∇=
du ∂y du ∂z x du ∂z du ∂x y du ∂x du ∂y z du
3. 设 2' 2' −+−+−= zzyyxxr )()()( 2' 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从
源点指向场点
∂∂∂
1 证明下列结果并体会对源变数求微商( ' =∇ e + e + errr ) 与对场变数求
x ∂x ' y ∂y ' z ∂z '
∂∂∂
微商( =∇ e + e + errr ) 的关系
x ∂x y ∂y z ∂z
r 11 r r r rrrrr
'rr , ' ,0, ' r ≠=−∇=⋅∇=×∇−=−∇=∇=−∇=∇)0.(0
rrr r 3 r 3 r 3 r 3
(最后一式在人 r 0 点不成立见第二章第五节)
2 求
rrrrrr r r r r r rr r r
[),(,)(,, 0 sin( 及[)] 0 sin( ⋅×∇⋅⋅∇⋅∇∇⋅×∇⋅∇,)], 及其中 EkarkErkErararr 0均为常矢量
−∂ xx ' −∂ yy ' −∂ zz ' )()()(
证明 r =⋅∇+ + = 3
∂x ∂y ∂z
rrr
x y eee z
∂∂∂
r =×∇= 0
∂∂∂zyx
' ' −−− zzyyxx '
v r ∂∂∂ vvvvvv v r v
[()( eaeaeara zzyyxx ⋅++=∇⋅() ex + e y + z )][( x y −+−+− ezzeyyexxe z ])'()'()'
课后答案网∂x ∂y ∂z
∂∂∂
= (a + a + a v r −+−+− ezzeyyexx v ])'()'()')[(
x ∂x y ∂y z ∂z x y z
vvvv
zzyyxx =++= aeaeaea
vvvvvv r )()()()()( ⋅∇⋅+×∇×+∇⋅+×∇×=⋅∇ ararrarara vvv