《笛卡儿与解析几何》的教学设计.doc

《笛卡儿与解析几何》的教学设计
教学目标:
了解解析几何产生的背景和发展过程。
了解解析几何的创立对数学发展的重大作用。
了解伟大的数学家、哲学家笛卡尔对创立解析几何的贡献。
感受数学家对数学新思想、新方法的大胆尝试、创新的精神。
经历结合实际问题,体会用代数方法研究图形的几何性质这一思想方法。
巩固解析几何这一章书所学的数学知识、思想方法。
教学重点、难点:结合实际问题通过解析几何,沟通了数与形、代数与几何的关系。
教学方法:学生自学阅读,学生小组探究与老师讲授相结合。
教学过程:
引入
解析几何的创立是数学史上具有划时代意义的重大事件。解析几何的一些基本思想,如用坐标确定点的位置,因变量对变量的依赖关系,可以上溯至非常古老的年代。
公元前2000年的巴比伦人已能用数字表示从一点到另一固定点,线或物体的距离,已有原始坐标的思想。
公元前4世纪,中国战国时代的天文学家石中夫绘制恒星方位表时已利用了坐标法。
约1350年,法国数学家奥雷姆提出一种坐标几何,用两个坐标确定平面上点的位置,用水平线上的点表示时间,称为经度;而所对应的速度则用纵坐标表示称为纬度,这样用经纬两个坐标就将物体运动情况在图上表示出来,这是从天文、地理坐标向坐标几何学的过渡。
解析几何的创立
学生阅读教材或回答问题(教材附在教学设计后面)
解析几何什么时候诞生的,通过哪一本书的发表创立了解析几何?作者是谁?
简单介绍一下笛卡尔。
法国数学家笛卡尔对数学的整体看法是什么?
他带着什么问题的思考,而促使他打开了近代几何的大门?
从数学家笛卡尔身上我们受到了什么启示?
在教科书中,找出与“帕波斯问题”类似的数学问题。(学生小组讨论回答)
运用解析几何的方法,体会“将几何问题代数化→解决代数问题→分析代数结果的几何意义→解决几何问题”这一思想历程。
探究
:三角形三条中线交于一点。(上课前已布置为研究性作业,小组讨论,以小组为单位作出解答)
学生回答:有两种证明方法。
证法一:用平面几何的知识证明。
证法二:不用平几的定理,如何运用解析几何的方法证明?
小组派代表做答,指出关键性的思路:
建立坐标系(几何问题代数化);
大胆设出点的坐标;
写出中线BE、CF的方程;
求出交点坐标G;
再求出中线AO的方程;
证明点G的坐标满足AO方程;
代数坐标为方程的解→几何点在中线AO上→点G在三条中线上,即三条中线交于一点。
(板书)
证明:
以BC所在直线为x轴,BC
中垂线为y轴,建立空间直角坐标系。
各点为B;O为BC上的中点,AO为中线。设E、F为AB、AC上的中点,则:。
则,直线BE方程为:,直线CF方程为:。
解方程组:
得交点
直线AO方程为,将G点坐标代入:

点G在直线AO上。
三线交于一点G。
三角形三条中线交于一点。
探究问题1是用代数方法解决几何问题的一个典型代表,由此同学们思考一下,在所学知识里,有没有类似的问题?或由这一个问题我们还能大胆地提出什么要求?(学生小组讨论后回答)
学生回答:用解析几何法证明三角形三条高线交于一点。
学生回答:证明。
学生回答:由点G坐标,猜想出,猜想出:已知三角形三个顶点坐标,则重心G的坐标为。
实际应用