数学试验--寻找最速降线.ppt

寻找最速降线
数学实验
数学给我们一个用之不竭,充满真理的宝库,这些真理不是孤立的,而是以相互密切的关系并立着,而且随着科学的每一成功进展,我们会不断发现直线真理之间的新的接触点.
──
数学既不严峻,也不遥远,它和几乎所有的人类活动有关,又对每个真心对它感兴趣的人有益.
──
1696年John Bernoulli向他的兄弟和其他
数学家挑战性地提出了最速降线(捷线)问题:
一质量为m的质点,在重力作用下从定点A
沿曲线下滑到定点B,
A
B
试确定一条曲线,使得质
点由A到B下滑时间最短.
假定B比A低,不计摩擦力
和其他阻力等因素.
问题导致数学新分支的产生.
问题
近似方法
如图建立坐标系,设A为原点,
B为(c,H),将带状区域0< y <H
用平行于x 轴的直线y=yk=kH/n
A
B
x
y
c
yk-1
xk-1
yk
xk
把这区域分成n个带状小区域
在带状域yk-1<y<yk ,可近似认为
而曲线段近似认为是直线段,其长度
于是质点从A到B所需时间近似为
(n -1元函数!)
求这个函数的极小值, 就得到问题的近似解(为简单
计,取g =1000cm/s2)
In[1]:=
Out[1]:=
In[3]:=
In[4]:=
Graphics
一个辅助结论
设质点从A1经直线 l 到达A2,质点速度在l 的
显然在l一侧质点应走直线,因此关键是质点
OC=x 那么质点由A1到A2需时间
A1
A2
a1
a2
C
l
O
D
如图,若A1,A2到l 的垂足分
上侧为v1,下侧为v2,则质点如何运动才最省时?
别为O,D, A1,A2 到l的距离分别
为a, b, OD =c, 质点经过l于C
何时越过l ?
A1
A2
a1
a2
C
l
O
D
惟一驻点满足
也即
这就是光学中的Snell折射定律
建立数学模型
分析;如图建坐标系,
AB 分割成小段, 考虑在第k
A
B
x
y
c
ak+1
ak
层与k+1层质点在曲线上的下
滑,依能量守恒律,可近似
认为质点在每层内的速度不
变,于是依辅助结论知
由于上式对任何k成立,
故导出
若用与x 轴平行的直线将
A
B
x
y
c
a
令平行线的间距趋于零,我们就得到在曲线
上任何一点
其中a为该点切线与铅垂线
的夹角
由于
其中y=y(x)为曲线函数,又因
于是得到
最速降线的方程: