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2012年浙江省高考说明数学理科测试样卷
参考答案
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分1分。
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。
(1) C (2) B (3) C (4) D (5) C
(6) B (7) B (8) D (9) D (10)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。
(11) (-,-1]∪[1,+) (12) (13) 40 (14) 35
(15) (16) 10 (17)
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
(18) 本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 解:由题设得tan C=-2,从而sin C=. …………6分
(Ⅱ) 解:由正弦定理及sin C=得sin A=,
sin B =sin (A+C)=sin A cos C+sin C cos A
=
=,
再由正弦定理b==. …………14分
(19) 本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力。满分14分。
(Ⅰ) 解:设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na+,
S1=a,S2=2a+d,S4=4a+,S2,S4成等比数列,因此
=S1S4,即得d (2a-d)=,d=0或2a.
(1) 当d=0时,an=a;
(2) 当d=2a时,an=(2n-1)a. …………6分
(Ⅱ) 证明:,不妨设对某个m∈N*,Sm,Sm+1,Sm+2构成等比数列,
a2+mad+m(m+1)d2=0, ①
(1) 当d=0时,则a=0,此时Sm=Sm+1=Sm+2=0,与等比数列的定义矛盾;
(2) 当d≠0时,要使数列{an}的首项a存在,必有①中的Δ≥0.
然而
Δ=(md)2-2m(m+1)d2=-(2m+m2)d2<0,矛盾.
综上所述,对任意正整数n,Sn,Sn+1,Sn+2都不构成等比数列. …………14分
(20) 本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
方法一:
(Ⅰ) 证明:如图以点A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,其中K为BC的中点,
A
B
C
P
E
(第20题)
D
G
F
z
y
x
K
不妨设PA=2,则,,
,,,.
由,得
,,
,
设平面的法向量=(x,y,z),则
,,
得
可取=(,1,2),于是
,故,又因为FG平面PDC,即//平面.
…………6分
(Ⅱ) 解:,,
设平面的法向量,则,,
可取,又为平面的法向量.
由,因为tan=,cos=,
所以,解得或(舍去),
故. …………15分
方法二:
A
B
C
P
E
(第20题)
D
G
F
Q
M
N
(Ⅰ) 证明:延长交于,连,.
得平行四边形,则// ,
所以.
又,则,
所以//.
因为平面,平面,
所以//平面. …………6分
(Ⅱ)解:作FM于,作于,连.
则,为二面角的平面角.
,不妨设,则,,
由得,即. …………15分
(21) 本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)解:由x2+3y2=3b2 得,
所以e====. …………5分
(Ⅱ)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),△ABO的面积为S.
如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(,),此时S==;
如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx+m,
由得x2+3(kx+m) 2=3,
即(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,又Δ=36k2m2-4(1+3k2) (3m2-3)>0,
所以 x1+x2=-,x1 x2=,
(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1