第六章 线性系统的能控性和能观性分析.pdf

自动控制原理电子教案
第 6 章线性系统的能控性和能观性分析
系统能控性和能观性问题
能控性、能观性和稳定性一样,是控制系统的重要性质,是实现各种控制
和状态估计的基础,在控制理论中起着核心的作用。
系统的状态空间描述可用图 表示。
y
u 状态方程 x 输出方程
x& = Ax + Bu y = Cx
状态空间描述
采用状态反馈可以实现各种控制,例如最优控制,如图 所示。
y
u 状态方程 x 输出方程
x& = Ax + Bu y = Cx
控制器
状态反馈控制
最优控制问题的任务是寻求控制作用u(t) = kx(t) ,使状态 x(t) 达到预期的
状态。但首要的问题是,系统的能控性问题。
另一方面,实际系统的状态 x(t) 通常是难以测量的,往往需要从可以测
量的输出 y(t) 中估计出来,如图 所示。
y
u 状态方程 x 输出方程
x& = Ax + Bu y = Cx
ˆ
控制器 x 状态估计器
采用状态估计器的状态反馈控制
状态估计的任务就是设计状态估计器,从输出 y(t) 中估计出状态 x(t) ,以
实现状态反馈。但首要的问题是系统的能观测性问题。
如图 所示 RC 网络。
浙江工业大学自动化研究所 1
自动控制原理电子教案
R1 = 1Ω R2 = 1Ω
C1 = 1F C2 = 1F
⎯⎯→⎯⎯→ y
i u1 u2
R3 = 2Ω
RC网络
可取两个电容上的电压 u1 ,u2 作为状态变量, u2 是不能控的。u1 是能控
的。另一方面,输出 y = 2i − u2 只与 u2 和 i 有关,而与 u1 无关,所以,u1 是
不能观的,而 u2 是能观的。
下面介绍能控性、能观性的严格定义及其判别准则。
浙江工业大学自动化研究所 2
自动控制原理电子教案
线性定常系统的能控性
能控性的定义

定义:对于线性(定常、时变)系统 x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) ,若对状态空
间中的任意状态 x(t0 ) 和另一状态 x(t ) ,存在一个有
1 x2
P1
限的时间(t0 ,t1 ) 和一个分段连续输入 u(t) ,能在 P
内使状态转移到,则称此状态是能 P
(t0 ,t1 ) x(t0 ) x(t1 ) 2
控的,否则称为不能控的。若系统所有状态都是能控 x1
的,则称此系统是状态完全能控的,简称系统是能控 0
Pn
的。
上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。如
相平面
图 所示。
可见,系统中某一状态的能控和系统的状态完全能控在含义上是不同的。

离散系统能控性定义与连续系统能控性定义类似,所不同的只是在离散
系统中控制信号是离散序列。
定义在有限时间区间 t ∈[0, nT ] 内,若存在无约束的阶梯控制序列
u(0),L,u(n −1) ,能使系统从任意初态 x(0) 转移到任意终态 x(n) ,则称该系统
是状态完全能控的,简称是能控的。
不失一般性,一般将能控性定义等价地叙述为下列两种情况。
第一种情况:把初始状态规定为状态空间中的任意非零有限点,而终端
状态规定为状态空间中的原点,即 x(t1) = 0 ,则能控性定义又可叙述为
能控性定义:对于线性定常系统 x& = Ax + Bu ,如果存在一个分段连续输
入 u(t) ,能在有限时间区间(t0 ,t1) 内,将系统从任一初始状态 x(t0 ) 转移到零态
x(t1) = 0 ,则称系统是状态能控的。
第二种情况:把初始状态规定为状态空间中的原点 x(t0 ) = 0 ,而终端状态
规定为任意非零有限点,为区别于第一种情况,这种情况通常称为系统的能达
性。
能达性定义:对于线性定常系统 x& = Ax + Bu ,若存在一个分段连续的输入
u(t) 能在有限时间区间(t0 ,t1) 内,将状态 x(t) 从零状态 x(t0 ) = 0 转移到任一指定
的状态空间中的终端状态 x(t1) ,则称系统是能达的。
可以证明,对于线性定常系统,能控性和能达性是等价的。
不失一般性,以后对能控性的讨论中均规定终端状态为状态原点。





浙江工业大学自动化研究所 3
自动控制原理电子教案
能控性判别准则
能控性判别准则:线性定常(连续、离散)系统{A,