第四章 控制系统稳定性分析.pdf

自动控制原理电子教案
第 4 章控制系统稳定性分析
稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后,其状态偏离平衡状态,在随后所有时间内,系统的
响应可能出现下列情况:
1)系统的自由响应是有界的;
2)系统的自由响应是无界的;
3)系统的自由响应不但是有界的,而且最终回到原先的平衡状态。
李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐进稳定的。
显然,如果系统不稳定,则系统的响应是无界的,系统的输出将逐渐增加
直到损坏系统,或者进入振荡状态。因此,系统稳定是保证系统能正常工作的
首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。
李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
范数的概念
描述 n 维向量空间,与描述二维、三维空间一样,也要引入“尺度”的
概念,来度量向量的“长度”。可以人为地定义向量空间的“尺度”标准,这
个标准称为向量的范数,记为⋅。
范数的定义有很多种,下面介绍常用的欧氏范数,它是二维、三维空间
中长度概念的推广。
1. 向量的范数
T
定义:n 维向量空间 x = [x1 x2 L xn ]的范数定义为
2 2 2
x = x1 + x2 + L + xn ()
T 2 2
例如,二维向量空间 x = [x1 x2 ]的范数定义为: x = x1 + x2 ;三维向量空
T 2 2 2
间 x = [x1 x2 x3 ]的范数定义为 x = x1 + x2 + x3 。
2. 矩阵的范数
如果把 m× n 矩阵 A 的全体看作是一个向量空间,那么可以把每一个 m× n
矩阵称为向量空间中的一个向量,这样就可以定义矩阵的范数。
定义: m× n 矩阵 A 的范数定义为
⎡a11 a12 L a1n ⎤
⎢⎥
A = ⎢ M M O M ⎥()
⎢a a a ⎥
⎣ m1 m2 L mn ⎦ m×n
n m
2
A = ∑∑a ij ()
j ==11i
⎡a11 a12 ⎤ 2 2 2 2
例如,矩阵 A = ⎢⎥的范数为 A = a11 + a12 + a21 + a22
⎣a21 a22 ⎦

浙江工业大学自动化研究所 1
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平衡状态
系统没有输入作用时,处于自由运动状态。当系统到达某状态,并且维持
在此状态而不再发生变化的,这样的状态称为系统的平衡状态。
根据平衡状态的定义可知,连续系统 x& = f (x) 的平衡状态 xe 是满足平衡
方程 x& = 0 即 f (xe ) = 0 的系统状态。离散系统 x(k +1) = f (x(k)) 的平衡状态 xe ,
是对所有的 k,都满足平衡方程 xe = f (xe , k) 的系统状态。
首先讨论线性系统 x& = Ax 的平衡状态。由于平衡状态为 Axe = 0 ,因此,
当 A 为非奇异矩阵时,系统只有一个平衡状态 xe = 0 ;当 A 为奇异矩阵时,
系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统,可能有一个平衡状态,也可能有多个平衡状态。这些平
衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。
例 求下列非线性系统的平衡状态
⎧ x&1 = −x1
⎨ 3
⎩x&2 = x1 + x2 − x2
T
解由平衡状态定义,平衡状态 xe = [x1e x2e ] 应满足
x1e = 0
3
x1e + x2e − x2e = 0
得
3
x 2 e − x 2 e = 0
x 2 e (1 + x 2 e )(1 − x 2 e ) = 0
T T T
因此,非线性系统有三个平衡状态:xe1 = [0 0] ,xe2 = [0 −1] ,xe3 = [0 1] 。
李雅普诺夫稳定性定义
1892 年,李雅普诺夫给出了稳定性的一般定义,这个定义直到现在仍然
是最严格和最一般的定义。现介绍如下:
1. 稳定
定义:如果对于任意给定的每个实数ε> 0 ,都对应存在着另一实数
δ(ε,t0 ) > 0 ,使得从满足不等式 x0 − xe ≤δ(ε,t0 ) 的任意初态 x0 出发的系
统响应 x ,在所有的时间内都满足 x − xe ≤ε,则称系统的平衡状态 xe 是稳定
的。若δ与 t0 的选取无关,则称平衡状态 xe 是一致稳定的。
李雅普诺夫稳定的几何含义是:当给定任意正数ε为半径的球域 s(ε) ,
总能找到一个相应的δ> 0 为半径的另一个球域 s(δ) ,当 t 无限