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确定带电粒子在磁场中做圆运动的圆心的方法
卢宗长北京二中(100010)
带电粒子在磁场中圆运动的问题综合性较强,是高中物理的一个难点,也是高考的热点。解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的规律,又要用到数学中的平面几何的知识。其中关键是确定圆运动的圆心,只有找到圆心的位置,才能正确运用物理规律和数学知识。下面给出几种找圆心常用的方法。
方法一:利用两个速度垂线的交点找圆心
由于向心力的方向与线速度方向互相垂直,洛伦兹力(向心力)沿半径指向圆心,知道两个速度的方向,画出粒子轨迹上两个对应的洛伦兹力,其延长线的交点即为圆心。
例1 、如图1所示,一个质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P(,0)点以速度v,沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解析:分别由射入、射出点做两条与速度垂直的线段,其交点O即为粒子做圆运动的圆心,由图可以看出,轨道半径为
①
洛仑兹力是向心力
②
由①②解得.
射出点的纵坐标为(r+rsin30°)=,因此射出点坐标为(0,)。
方法二:利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心
带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时,如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速度方向,可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。
例2、电子自静止开始经M、N板间(两板间的电压为U)的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中,电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L,如图2所示,求:
(1)正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图;
(2)匀强磁场的磁感应强度.(已知电子的质量为m,电量为e)
解析:(1)联结AP的线段是电子圆运动轨道上的一条弦,做弦AP的中垂线,由于电子通过A点时的速度方向与磁场左边界垂直,因此过A点的半径与磁场的左边界重合。AP弦的中垂线OC与磁场左边界的交点O即是电子圆运动的圆心,以O为圆心以OA为半径画圆弧,如图3所示,
(2)在M、N间加速后获得的速度为v,由动能定理得:
①
电子进入磁场后做匀速圆周运动,设其半径为r,则:
②
在△AQP中: ③
在△ACO中: ④
由①②③④解得:B=
方法三、利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心
当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区,如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置,而不知道射出点的位置,应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。
例3、一质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿y 轴正方向射入磁感应强度为B 的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,粒子飞出磁场区域后,从B 处穿过x轴,速度方向与x 轴正方向的夹角为30°,同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中,通过了B点正下方的C点。如图示4所示,不计重力,试求:
(1)圆形匀强磁场区域的最小面积;
(2)C点到B点的距离h。
解析:(1)反向延长vb交y轴于O2点,作∠BO2O的角平分线交x轴于O1,O1即为圆运动轨道的圆心,OO1即为圆运动轨道的半径,
其半径为①
画出圆运动的轨迹(图5虚线圆)交B O2于A点,最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆,如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则
②
③
利用①②③解得
(2) B到C 受电场力作用,做类平抛运动
沿初速方向: ④
沿电场方向: ⑤
利用④⑤消去t解得.