第二章插值法.ppt

§1 引言
第2章插值法
一、问题背景
应用:例如程控加工机械零件等。
二、问题的提出
函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi)
或者给出函数表
y=f(x)
x
x0
x1
x2
…
xn
y
y0
y1
y2
…
yn
求解:y = f (x) 在[ a , b ]上任一点处函数值的近似值?
根据 f (x)在n+1个已知点的值,求一个足够光滑又比较简单的函数p(x)作为 f (x)的近似表达式,
插
值
法
然后计算 p(x)在[a,b] 上点x 处的函数值作为原来函数
f (x)在此点函数值的近似值。
代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数
解决思路
三、一般概念
[a , b] 称为插值区间
求 p ( x ) 的方法就是插值法。
插值函数p(x)在n+1个互异插值节点xi (i=0,1,…,n ) 处与f(xi)相等,在其它点 x 就用p(x)的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值,点 x 称为插值点。
换句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出”所要点的函数值。用p(x)的值作为f(x)的近似值,不仅希望p(x)能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单。
最常用的插值函数是…?
代数多项式
用代数多项式作插值函数的插值称为多项式插值
本章主要讨论的内容
插值函数的类型有很多种
插值问题
插值法
插值函数
分段函数…
三角多项式
本章:求出插值多项式, 分段插值函数, 样条插值函数;
讨论P(x)的存在唯一性、收敛性及误差估计.
x0
x1
x2
x3
x4
x
f(x)
p(x)
从几何上看
曲线 P ( x)
近似 f ( x)
研究问题:
(1)满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一?
(2)若满足插值条件的P ( x) 存在,如何构造P ( x)?
(3)如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差?
§2 拉格朗日插值
一、线性插值和抛物插值
对给定插值点,求出形如
的插值多项式的方法有多种.