2004年数二真题及解析.doc

2004年数学(二)真题评注
一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)设, 则的间断点为 0 .
【分析】,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.
【详解】显然当时,;
当时, ,
所以,
因为
故为的间断点.
(2)设函数由参数方程确定, 则曲线向上凸的取值范围为.
【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由
定义的求出二阶导数,再由确定的取值范围.
【详解】,
,
令.
又单调增, 在时, .(时,时,曲线凸.)
【评注】, 如1989、1991、1994、2003数二考题,也考过函数的凹凸性.
(3).
【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.
【详解1】.
【详解2】.
【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.
(4)设函数由方程确定, 则.
【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.
【详解1】在的两边分别对,求偏导,为的函数.
,
,
从而,

所以
【详解2】令
则, ,
,
,
从而
【详解3】利用全微分公式,得



即,
从而
【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.
(5)微分方程满足的特解为.
【分析】,再利用初值条件确定通解中的任意常数而得特解.
【详解1】原方程变形为,
先求齐次方程的通解:

积分得
设为非齐次方程的通解,代入方程得

从而,
积分得,
于是非齐次方程的通解为

,
故所求通解为.
【详解2】原方程变形为,
由一阶线性方程通解公式得



,
从而所求的解为.
【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.
(6)设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, 则.
【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.
【详解1】,
,
,
.
【详解2】由,得




【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘积的行列式.
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. )
(7)把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A) (B)
(C) (D)
【分析】对与变限积分有关的极限问题,一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.
【详解】

,
即.
又,
即.
从而按要求排列的顺序为, 故选(B).
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题.
(8)设, 则
(A)是的极值点, 但不是曲线的拐点.
(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点.
(C)是的极值点, 且是曲线的拐点.
(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点.
【分析】求分段函数的极值点与拐点, 按要求只需讨论两方, 的符号.
【详解】,
,
,
从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点.
又, 时, , 从而为极小值点.
所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选(C).
【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目
(9)等于
(A). (B).
(C). (D)
【分析】将原极限变型,,从四个选项中选出正确的.
【详解】






故选(B).
【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型,值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才能化为四选项之一.
(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得
(A)在内单调增加.
(B)在内单调减小.
(C)对任意的有.
(D)对任意的有.
【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质.
【详解】由导数的定义知
,
由极限的性质, , 使时, 有

即时, ,
时, ,
故选(C).
【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.
(11)微分方程的特解形式可设为
(A).
(B).
(C).
(D)
【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.
【详解】对