中值定理的证明题08.04.01.doc

例题精解
例1.(05数2—12)已知函数在上连续,在内可导,且,,证明:(I)存在,使;(II)存在两个不同的点,使得.
证明:(I)设,因为在连续,且,,即,由连续函数的零点存在定理可知,存在,使得,即.
(II)根据(I)的结果,在上用Lagrange中值定理:.
上,用Lagrange中值定理可知,存在,使得:.
于是,.
例2.(99数3—7)设函数在区间上连续,在内可导,且,.试证:(1)存在,使;(2)对于任意实数,必存在,使得.
证明:(1)由题设,引入辅助函数,则在上连续,由已知条件及,知,所以由闭区间上连续函数的介值定理,知存在一点,使得,即.
(2)需要引入辅助函数,但比(1)中需要更多技巧,由原函数法,将抽需证明的等式中的改写为,有,即.
由一阶线性非齐次微分方程的通解公式,,.
至此,可令.
由已知条件及(1)中结论,知也是连续函数,且,于是由Rolle定理,知存在一点,使得.
,在内可导,:至少存在一点使得,其中为常数且.
证明:由被证式,得,即,亦即.
令,则由,得则.
于是,在区间上用Rolle定理,有.
例4.(98数4—6)设在上连续,在内可导,且,试证存在使得.
证明:题设待证等式中含有两个参数,则必为连续用两次中值定理所致.
由变形为,可引入辅助函数为:,则由Lagrange定理,得.
再设辅助函数:,则由Lagrange定理,得,.
将条件代入后,即有:.
例5.(02数3—8)设在上连续,在内可导,
且满足,证明至少存在一点使得.
解:由题设中欲证等式,,将该等式中的改为,则原等式成为,可解出.
,可引入辅助函数,,则,其中:.
在区间上应用Rolle定理,则知存在一点,使得,即,化简得,
即.
例6.(03数2—10)设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,,证明:
(1)在内;
(2)在内存在点使;
(3)在内存在与(2)中相异的,使.
证明: (1)由题设, 存在,因此,已知在上连续,因此,又由于知在内单调增加,所以,即,.
(2),故满足Cauchy中值定理的条件,则存在点,使得:
.
(3)由于,因而,将其代入到(2)的结论中有:
.
例7.(01数4—6)设在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,试证明:存在,使.
证明:显然,由积分中值定理:.
令:,则,且
即:
点评:此题条件中含积分等式,故应先用积分中值定理化简之再找辅助函数. .于是,当令时,有,,,如条件中含有积分式子,,请考生注意体会.
例8.(98数4—6)设在上连续,在内可导,且试证:存在,使得:成立.
证明:只要证:.左端是:的求导结果;右端是::即
同理, 故.
点评:一般所证结论中含两个参数时,应将两个参数置于等式的两侧,然后分别使用中值定理.
,在内可导,且
求证:对于任意给定的非零常数k,存在使得.
证明:(1)问题是要证明存在,使考虑到函数求导后可得, ,必须要找到和使得(2), .于是,由零点存在定理可知:,即.
点评:当所证结果中出现时,辅助函数为,,必须记住!
,在内可导,且试证:至少存在一点使得
证明:按上述解题技巧考虑,,则只要证,而这只需令在上用Rolle定理即可.
点评:,因此记住一些最基本的类型和技巧是每个考生必须做的工作.
例11.(07SHU3,4—10)设函数,在上连续,在内可导且存在相等的最大值,又
,.证明:(I)存在,使得;(II)存在,使得.
证明:设,分别在处取得最大值,则由题意(最大值),且.
令,显然有,则有以下推理:
当时,(不妨设)则,,于是由零点存在定理可知:存在,使得.
此时,由于,故在区间及上,对于函数用Rolle定理有:存在和,使得.
在区间上再用Rolle定理,存在存在,使得.
当时,可令,.
在区间和上用Rolle定理,存在和,使得,在区间上再用Rolle定理,存在存在,使得.
,在内可导,,使得.
解: 设,则由题设满足拉格