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第2章母函数与递推关系.ppt

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第2章母函数与递推关系
母函数是求解计数问题的一个强有力的工具。
其中心思想是:将一个有限或无限序列
与一个函数项级数
联系起来,使得我们可以通过用解析的方法研究G(x)来得到序列的一些性质。
最常用的函数项级数:
,
母函数的引入
5/25/2018
2
对于序列,称函数
为序列的母函数。
例序列的母函数为
例序列 1,1,…,1,…的母函数为
母函数的引入
5/25/2018
3
若我们已知某个序列的母函数,通常可通过对母函数的操作得到该序列的一些重要性质。
例对等式
两边求导得
再令x=1便得
母函数的引入
5/25/2018
4
在等式
两边同乘以x,然后再对等式的两边求导得
母函数的引入
5/25/2018
5
通常序列与某个问题序列
的计数问题相对应,若已知序列的母函数,则可确定该序列,从而可以解决相应的计数问题。
有红球两只,白、黄球各一只,试求有多少种不同的组合方案?
解所求组合方案的母函数为
母函数的引入
5/25/2018
6
如果只需要求不同的组合方案数,那么可考虑下列母函数
所求组合方案数为:1+3+4+3+1=12。
母函数的引入
5/25/2018
7
某单位有8位男同志,5位女同志。现要组织一个由偶数个男同志和数目不少于两个的女同志组成的小组,试求有多少种组成方式?
解所求组成方式数序列的母函数为
母函数的引入
5/25/2018
8
所求的组成方式数为
母函数的引入
5/25/2018
9
几个常见的母函数:
(1)
(2)
母函数的性质
5/25/2018
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