本科毕业论文《正定二次型与不等式》.doc

摘要
以正定二次型与半正定二次型理论为基础, 证明了若干二次齐次代数不等式或加权不等式、矩阵或行列式不等式, 以及几何不等式, 包括国内外的一些数学奥林匹克试题.
关键词: 矩阵; 二次型; 正定; 半正定; 不等式
Abstract
Based on the theory of positive definite quadratic and semi-positive quadratic, we prove some second homogeneous algebra inequality or weighted inequality, matrix or determinant inequality, and geometric inequality, which includes two domestic and international mathemat
-ical Olympiad questions.
Key words: matrix ; quadratic ; positive definite; semi-positive definite quadratic; inequ
-ality
目录
摘要 I
Abstract II
0 引言 1
1 正定二次型及半正定二次型的定义和性质 1
2 若干代数不等式 2
3 几个矩阵(或行列式)不等式 6
4 两个几何不等式 10
参考文献 13
0 引言
二次型理论作为线性代数中的基础知识[1~3], 其应用非常广泛. 而且二次型的理论在数学的其他分支及物理、力学、工程技术中也常常用到. 另一方面, 不等式作为一个极具魅力的领域, 对其研究也是一直长盛不衰, 除了一些不等式研究成果大量涌现外, 一些新的证明不等式的方法不时面世. 文[4~6]是这方面的一个真实写照. 本文主要讨论如何利用二次型的正定性或半正定性证明有关代数的、或几何的不等式, 也是对如何利用高等数学中的观点和方法来研究初等数学问题作一个尝试.
1 正定二次型及半正定二次型的定义和性质
为方便起见, 首先给出二次型的相关概念及性质, 这些性质的证明均可见[7].
定义数域上的元二次齐次多项式
称为数域上的一个元二次型. 在不致引起混淆时简称二次型.
当是实数域时, 二次型称为实二次型. 对于一个元实二次型, 如果对任意不全为零的实数都有, 则称为正定二次型. 如果对任意实数都有, 则称为半正定二次型.
如果记, . 则二次型可简单地表示为
,
其中, 对称矩阵称为二次型的矩阵, 当实二次型正定(或半正定)时, 也称实对称矩阵正定(或半正定).
定理1 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 矩阵的顺序主子式全大于零.
定理2 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 矩阵的特征值全大于零.
定理3 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是: 存在级实可逆矩阵, 使得
.
以上三个定理在任何一本高等代数教材中都可以见到.
关于实二次型半正定性的判定有如下等价条件[2].
定理4 设是阶实对称矩阵, 则下列条件等价:
(ⅰ) 是半正定的;
(ⅱ) 合同于;
(ⅲ) 存在实可逆矩阵, 使, 其中, ;
(ⅳ) 的所有主子式非负, 且至少有一个主子式为零;
(ⅴ) 的所有特征值非负, 且至少有一个特征值为零.
2 若干代数不等式
由于二次型的正定性半正定性都是以不等式形式出现的, 因而二次型在不等式的证明中应该有其用武之地. 这里将用二次型的半正定性证明若干代数不等式.
设, 证明
. (1)
证明设, 则是一个实二次型, 其矩阵
.
因为矩阵的一阶主子式, 二阶主子式
,
且, 所以是半正定的, 从而由定理4(ⅳ)可得二次型半正定, 故不等式(1)成立.
诚然, 这种证法并不比通常所用的初等数学证法简单, 但它却提供了证明二次齐式不等式的一种全新思路. 使用这种方法一般是先从结论出发构造一个相应的二次型, 写出二次型的矩阵, 然后用有关定理判断该二次型的矩阵正定或半正定, 从而得到不等式.
证明: 对任意个实数, 有不等式
. (2)
证明设
,
则是一个实二次型, 易知二次型的矩阵为
.
将矩阵的第列分别加到第1列, 再将第行减去第 1行, 得
~.
于是矩阵的特征值为, 因而为半正定矩阵, 由定理4(ⅴ)可知,二次型是半正定的, 从而. 这就证明了不等式(2).
设, , , , , 皆为实数. 求证: 不等式
(3)
对任意实数成立的充要条件是
,,,,,.
且
.
证明设二次型
,
则其矩阵为
.
因为对任意实数, 等