线性系统理论第1章绪论数学基础.doc

线性系统理论第1章绪论_数学基础
线性系统理论数学基础_绪论“线性系统理论”工程硕士学位课课程目的学****掌握线性多变量系统的分析、设计方法。了解控制理论领域最新研究成果。主要内容数学描述运动分析能控性与能观性系统的运动稳定性线性反馈系统的时间域综合“线性系统理论”工程硕士学位课课本: 《线性系统理论》第2版,郑大钟,清华大学出版社参考书: 《线性系统理论》第2版,段广仁,哈尔滨工业大学出版社第0章数学基础第一章绪论* 第一讲作为学****本课程的准备工作,首先回顾并介绍一些常用数学基础知识。对于一些定理结果,只给出结论而略去证明。一、线性空间与线性变换线性空间的定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。定义1:设V是一个非空集合,P是一个数域。在集合V的元素之间定义了一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一种法则,对于V中任意两个元素x和y,在V中都有唯一的一个元素z与它们对应,称z为x与y的和,记为z x+y。在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做乘法;这就是说对于数域P中任意一个数k与V中的任意一个元素x,在V中都有唯一的元素h与它们相对应,称h为k与x的数量乘积,记为h kx。如果加法与数量乘法均满足各自的运算规则,那么,V为数域P上的线性空间。极易验算这种“+”和“?”满足通常的代数法则,故Rn是实数域R上的线性空间,也称为向量空间。例: 如果用Rn表示有序的实数组全体的集合。设,在Rn中规定加法和数乘为显然定义: 如果V是实数域R上的线性空间, V1是V的一个子集, 在V1上的加法和数乘运算同于V上的运算, 若V1也是实数域R上的线性空间, 则称V1是V的子空间。为线性无关,此时必然有设V是实数域R上的线性空间,它的元即是向量。定义: 设是V中一组向量(可以重复), 则称为线性相关,否则称如果存在一组不全为0的实数,使是V中一组向量可以重复,称向量的线性组合,是指有实数定义: 设是存在,使线性无关,而线性相关,则为的线性组合, 且表示法唯一。由上述定义可知,如果线性变换定义:设V1,V2均为实数域R上的线性空间,T是由V1到V2的一个映象,当T满足时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T的定义域。若令则TV1也是一个线性空间,它被称为T的值域空间,记为ImT TV1。在V1 V2时,称他为V1上的线性变换。二、矩阵代数中的几个结果定义: 矩阵中列向量的最大无关组的个数称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的行秩。定义: 矩阵记为rank A 。的行秩或列秩称为矩阵A的秩显而易见,对于矩阵而言,有 rank A
≤min m,n 当rank A m时,我们称A为行满秩矩阵; 当rank A n时,我们称A为列满秩矩阵; 当rank A <min m,n 时,我们称A为降秩矩阵, 特别当rank A <m时,称A为行降秩的; 当rank A <n时,称A为列降秩的; 当rank A m n时,称矩阵A是可逆的或非奇异的。 Vendermonde矩阵与友矩阵 Vendermonde矩阵与友矩阵是矩阵代数中的两类重要的矩阵,在控制理论中经常用到。 1 Vendermonde矩阵设为一组复数,定义形如的矩阵P称为Vendermonde矩阵。定理: 推论: Vendermonde矩阵P可