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类比法
第三讲
牛顿说:“没有大胆的猜测,就做不出
伟大的发现”。
法国数学家、天文学家拉普拉斯也说:
“即使在数学里,发现真理的主要工具也
是归纳与类比”。
著名的数学家波利亚所说:“类比是一
个伟大的引路人”。
一件工程,甲队单独做20小时完成,乙队单独做30小时可以完成,两队合做,几小时可以完成全工程?
析:这一工程问题应用题中,工作总量可以看作单位“1”,甲队的工作效率可以看作1/20,乙队的工作效率可以看作1/30,根据工作总量÷工作效率和=工作时间。
这题的解法是:1÷(1/20+1/30)。
案例1:客车从甲地开往乙地要10小时,货车从乙地开往甲地要15小时,如果两车分别从甲、乙两地同时相对开出,几小时可以相遇?
析:这一条“相遇问题”应用题中,同样可以把总路程看作单位“1”,客车速度看作1/10,货车速度看作1/15。
因此,从上一题的解法可以类推出本题的解法为:1÷(1/15+1/10)。
一、类比法的含义和模式
含义:所谓类比法是通过对两个研究对象的比较,根据它们某些方面(属性,关系,特征,形式等)的相同或相类似之处,推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。
一、类比法的含义和模式
模式:A类对象具有(或不具有)性质a、b、c、 d;
B类对象具有(或不具有)性质a′、b′、c′;
a′、b′、c′与a、b、c、相同或相似;
B类对象可能具有(或不具有)性质d′。
二、类比法与小学数学
1、数与数的类比
2、形与形的类比
3、文学与数学的类比
案例2:请你用1,3,4,7这四个数,组成两个两位数相加的算式,并计算出结果。
析:用1,3,4,7这四个数组成两个两位数,我们可以先取1,3两个数字组成13、31;4,7也可以组成两个两位数47,74。这四个两位数可组成四个加法算式:13+47,13+74,31+47,31+74。同样的道理,也可以把1,4分成一组,3,7分一组;1,7分一组,3,4分一组。能够组成的加法算式如下:
1,3一组,4,7一组:
13+47=60,13+74=87,31+47=78,31+74=105;
1,4一组,3,7一组:
14+37=51,14+73=87,41+37=78,41+73=144;
1,7一组,3,4一组:
17+34=41,17+43=60,71+34=105,71+43=114。
由上面的这个整数开放题可类比出下面这个小数开放题:请你用2,3,4,7这四个数字和小数点,组成两个一位小数相加的算式,并计算出结果。
训练1:一个正方形有四条边,如果两个同样的正方形有一条公共边,那么就称这两个正方形连结在一起,如。把四个同样的正方形连结在一起,可以怎样连?
这个平面的问题,如果运用类比的方法,就可以得到空间的问题:
把四个同样的小立方体连结在一起(相邻两个立方体有一个公共面),可以怎样连结?把平面的正方形类比空间的立方体。
再考虑到空间的特殊性。