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第17讲教学方案
——弯曲正应力
基
本
内
容
梁纯弯曲和横力弯曲时横截面上的正应力
教
学
目
的
掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程,理解推导中所作的基本假设。
理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
掌握中性层、中性轴和翘曲等基本概念和含义。
重
点
、
难
点
本节重点:纯弯曲时横截面上正应力公式的推导和计算。
本节难点:横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度。
第七章弯曲应力
§7-1纯弯曲正应力
梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时,这种弯曲称为横弯曲。剪力Q是横截面切向分布内力的合力;弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明,其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。因此,我们先讨论Q = 0,M = 常数的弯曲问题,这种弯曲称为纯弯曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲;其余部分则为横弯曲。
与扭转相似,分析纯弯梁横截面上的正应力,同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。
——平面假设
考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线,和与轴线平行的纵线,如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶,使梁发生弯曲变形,如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有如下特征:
(1)横线(m-m和n-n)仍是曲线,只是发生相对转动,但仍与纵线(如a-a,b-b)正交。
(2)纵线(a-a和b-b)弯曲成曲线,且梁的一侧伸长,另一侧缩短。
根据上述梁表面变形的特征,可以作出以下假设:梁变形后,其横截面仍保持平面,并垂直于变形后梁的轴线,只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同,这一假设也称平面假设。
此外,还假设:梁的各纵向层互不挤压,即梁的纵截面上无正应力作用。
根据上述假设,梁弯曲后,其纵向层一部分产生伸长变形,另一部分则产生缩短变形,二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层,这一层称为中性层。如图6-3所示。中性层与横截面的交线为截面的中性轴。
横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力;中性轴上各点的应力为零。
下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。
考察梁上相距为dx的微段(图6-4a),其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线,y轴与横截面的对称轴重合,z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为,其纵向正应变为
(a)
式(a)表明:纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。

根据以上分析,梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设,所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料,根据胡克定律
于是有
(b)
式中、均为常数,上式表明:纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离y成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布,如图6-4d所示。
式(b)还不能直接用以计算应力,因为中性层的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。

弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My和Mz:
(c)
(d)
(e