矩阵论第二章入矩阵与矩阵的Jordan标准形.doc

矩阵论第二章入-矩阵与矩阵的Jordan标准形
其中是首项系数为1的多项式且称这种形式的矩阵为的Smith标准形。称为的不变因子。解: 先求出的特征多项式及其特征值。对于特征值,它是的1重根,从而在的 Jordan 标准形的主对角线上出现一次,因此中主对角元为1 的Jordan块只有一个且它为一阶的。对于特征值,先求所以从而特征值是的两重根,从而在的Jordan标准形的主对角线上出现两次,因此中主对角元为 3的Jordan块只有一个且它为二阶的。故的标准形为或例2 用矩阵秩的方法求出矩阵的Jordan标准形。解:首先求出其特征值,显然其特征多项式为所以为的4重根,从而在的 Jordan 标准形的主对角线上出现四次,下面计算中主对角元为1 的Jordan块的数目,先计算, 容易得到那么中主对角元为的Jordan块数是由此立即可得其Jordan标准形为如何求相似变换矩阵? 设阶方阵的Jordan标准形为,则存在可逆矩阵使得称为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论,只通过具体的例题说明求的方法。例1 求方阵的Jordan标准形及其相似变换矩阵。解: 首先用初等变换法求其Jordan标准形: 故的初等因子为从而的Jordan标准形为再求相似变换矩阵: 设所求矩阵为,则,对于按列分块记为于是有从而可得整理以后可得三个线性方程组前面的两个方程为同解方程组,可以求出它们的一个基础解系: 可以取,但是不能简单地取,这是因为如果选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。由于的任意线性组合都是前两个方程组的解,所以应该取使得第三个非齐次方程有解,即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩,容易计算出其系数矩阵的秩为1,从而应该使得增广矩阵的秩也为1。即(3) 定理3 矩阵与等价的充要条件是对于任何的,它们的阶行列式因子相同。定理4 矩阵与等价的充要条件是与有相同的不变因子。与一般的数字矩阵一样,我们有下面的推论: 推论1 矩阵可逆的充要条件为与单位矩阵等价。推论2 矩阵可逆的充要条件为可以表示成一系列初等矩阵的乘积。初等因子和矩阵的相似设矩阵的不变因子为在复数域内将它们分解成一次因式的幂的乘积: 其中是互异的复数, 是非负整数。因为,所以满足如下关系定义在上式中,所以指数大于零的因子称为矩阵的初等因子例1 如果矩阵的不变因子为则的初等因子为例2 如果矩阵的秩为4,其初等因子为求的Smith标准形。解:首先求出的不变因子从而的Smith标准形为定理1 阶矩阵与等价的充要条件是它们有相同的秩且有相同的初等因子。定理2 设矩阵为准对角形矩阵,则与的初等因子的全体是的全部初等因子。此定理也可推广成如下形式: 定理3 若矩阵则各个初等因子的全体就是的全部初等因子。例1 求矩阵的初等因子,不变因子与标准形。解:记那么对于,其初等因子为由上面的定理可知的初等因子为因为的秩为4,故的不变因子为因此的Smith标准形为例2 判断下面两个矩阵是否等价? 例3 求下面矩阵不变因子例4 求下列矩阵的行列式因子与不变因子数字矩阵的相似与矩阵的等价定理1: 设是两个阶的数字矩阵,那么与相似的充分必要条件为它们的特征矩阵与等价。定义: 对于数字矩阵,我们称的不变因子为的不变因子,称的初等因子为的初等因子。对于任何一个数字矩阵所以,于是可得下面两个定理定理2: 两个同阶的方阵相似的充分