《同济大学 线性代数PPT课件教案(精编版).docx

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适用于高等教育线性代数课程教学
目录
1. 第一章 行列式
行列式的定义与性质
行列式的计算方法
克莱姆法则
2. 第二章 矩阵及其运算
矩阵的概念与运算
逆矩阵
矩阵的初等变换与秩
3. 第三章 线性方程组
线性方程组的解的结构
齐次线性方程组
非齐次线性方程组
4. 第四章 向量组的线性相关性
向量组的线性组合与线性表示
向量组的秩
向量空间
5. 第五章 相似矩阵及二次型
特征值与特征向量
相似矩阵
实对称矩阵的对角化
二次型及其标准形
6. 附录
常用数学符号表
线性代数术语中英文对照
参考文献
第一章 行列式
教学目标
学习重点：理解 阶行列式的定义、性质及计算方法。
预期成果：能够熟练计算低阶行列式，掌握利用行列式性质化简高阶行列式的方法，并能应用克莱姆法则求解线性方程组。
知识框架图
核心内容讲解
行列式的定义
设 个数 排成 行 列的数表
$$
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}
$$
称为 阶行列式。其值定义为所有取自不同行不同列的 个元素的乘积的代数和。
$$
\det(A) = \sum_{j_1j_2\dots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\dots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}
$$
其中 是 的一个全排列， 为该排列的逆序数。
行列式的性质
1. 转置性质：行列式转置，值不变，即 。
2. 互换性质：交换行列式的两行（列），行列式变号。
3. 倍乘性质：行列式中某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式。
4. 消元性质：行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则行列式为零。
5. 线性性质：若某一行（列）是两个元素之和，则该行列式等于两个行列式之和。
行列式的计算
降阶法（展开定理）：按某一行或某一列展开。
其中 是 的代数余子式。
三角化法：利用行列式的性质，将行列式化为上三角或下三角行列式，其值为主对角线元素的乘积。
例题解析
例 1：计算行列式
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 5 \\
0 & 0 & 6 \\
\end{vmatrix}
$$
解析：该行列式为上三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积。
例 2：利用性质化简计算
$$
D = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
a & b & c & d \\
a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \\
a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \\
\end{vmatrix}
$$
解析：该行列式为范德蒙行列式。提取公因子后，利用性质 ， 等。
课堂讨论问题
1. 行列式为零的充分必要条件是什么？
2. 为什么行列式不能像矩阵那样随意进行乘法运算？
3. 如何利用行列式的性质将一个一般的行列式转化为上三角行列式？
课后习题
基础题：
1. 计算行列式 。
2. 利用性质证明 。
提高题：
1. 设 ，求 。
拓展题：
1. 解方程 。
第二章 矩阵及其运算
教学目标
学习重点：矩阵的线性运算、逆矩阵的求法、矩阵的秩。
预期成果：掌握矩阵乘法、转置、伴随矩阵等运算规则，熟练运用初等变换求逆矩阵和矩阵的秩。
知识框架图
核心内容讲解
矩阵的运算
加法：对应元素相加，。
数乘：数 乘以矩阵各元素，。
乘法：，其中 。注意矩阵乘法不满足交换律。
注意： 时，可能存在 。
逆矩阵
对于 阶方阵 ，若存在 阶方阵 ，使得 ，则称 可逆， 为 的逆矩阵，记作 。
求法：
1. 伴随矩阵法：，其中 为伴随矩阵。
2. 初等变换法：。
矩阵的秩
定义：矩阵 的秩 等于 的非零子式的最高阶数。
初等变换法：利用初等行变换将 化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为 。
例题解析
例 1：求逆矩阵
已知 ，求 。
解析：
1. 计算行列式：。
2. 求伴随矩阵：。
3. 求逆：。
例 2：矩阵的秩
求矩阵 的秩。
解析：
1. 观察发现第一行和第二行成比例。
2. 利用初等行变换：。
3. 交换 ：。
4. 非零行有 2 行，故 。
课堂讨论问题
1. 矩阵乘法满足交换律的条件是什么？
2. 什么样的矩阵可逆？不可逆的矩阵是否一定为零矩阵？
3. 初等变换为什么不会改变矩阵的秩？
课后习题
基础题：
1. 计算 。
2. 验证 是否可逆。
提高题：
1. 设 均为 阶可逆矩阵，证明 。
2. 利用初等变换求 的逆矩阵。
拓展题：
1. 设 ，证明 的特征值只能是 。
第三章 线性方程组
教学目标
学习重点：非齐次线性方程组的解的结构、齐次线性方程组的基础解系。
预期成果：能够判断线性方程组解的存在性，并能求出通解。
知识框架图
核心内容讲解
解的判定定理
对于 元线性方程组 ，设 为系数矩阵， 为增广矩阵：
1. 无解：。
2. 唯一解：。
3. 无穷多解：。
解的结构
齐次方程组 ：其解构成一个向量空间，称为解空间。其基础解系 的线性组合即为通解。
非齐次方程组 ：若 是特解， 是对应齐次方程组的通解，则 的通解为：
例题解析
例 1：解方程组
$$
\begin{cases}
x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\
2x_1 - 3x_2 + x_3 = 3
\end{cases}
$$
解析：
1. 方程个数 ，未知数个数 ，，可能有无穷多解。
2. 化为增广矩阵并初等变换：
3. 解得 ，。
4. 令 ，通解为 。
课堂讨论问题
1. 为什么齐次线性方程组一定有零解？
2. 非齐次线性方程组的特解和对应的齐次方程组的解有什么区别？
3. 如何利用矩阵的秩来判断方程组解的情况？
课后习题
基础题：
1. 判断方程组 的解的情况。
2. 求齐次方程组 的基础解系。
提高题：
1. 求非齐次方程组 的通解。
拓展题：
1. 设 是非齐次方程组的三个解，证明 是对应齐次方程组的解。
第四章 向量组的线性相关性
教学目标
学习重点：向量组的线性组合、线性相关与线性无关的定义及判定方法。
预期成果：理解向量组秩的概念，掌握极大线性无关组的求法。
知识框架图
核心内容讲解
线性相关与无关
线性相关：存在不全为零的数 ，使得 。
线性无关：只有当 时，等式才成立。
向量组的秩
极大线性无关组：向量组中一个部分组，满足（1）线性无关；（2）向量组中任意向量都能由它线性表示。
秩：极大线性无关组所含向量的个数，记为 。
向量组与矩阵的关系：矩阵 的行秩等于列秩等于 。
例题解析
例 1：判断线性相关性
判断向量组 的线性相关性。
解析：设 ，即 。
解得 。取 （不全为零），故该向量组线性相关。
例 2：求极大无关组
向量组 。
解析：构造矩阵 进行初等行变换。
。
前两列非零，故 为极大无关组。
课堂讨论问题
1. 如果向量组 线性无关，那么 一定线性相关吗？
2. 向量组的秩和矩阵的秩有什么关系？
课后习题
基础题：
1. 判断向量组 是否线性无关。
2. 求矩阵 的秩。
提高题：
1. 设 线性无关，证明 也线性无关。
拓展题：
1. 证明 维单位向量组 线性无关。
第五章 相似矩阵及二次型
教学目标
学习重点：特征值与特征向量的定义及计算、实对称矩阵的对角化、二次型的标准化。