普通高中学业水平考试数学试题含答案(精编版).docx

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考试时间： 90分钟 满分： 100分 注意事项： 考生应将答案填写在答题卡指定位置。本试卷允许使用科学计算器。
一、选择题
1. 集合 ，则集合 的子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 的模为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
3. 已知向量 ，，则向量 与 的夹角为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
4. 函数 的最小正周期为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
5. 在等差数列 中，已知 ，，则 等于（ ）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
6. 盒子里有大小相同的红球3个、白球2个，从中随机摸出2个球，则摸出2个不同颜色球的概率为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
7. 过点 且与圆 相切的直线方程为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
8. 如图，在正方体 中，直线 与平面 所成的角为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
9. 函数 的单调递增区间为（ ）
A. $$
B. $$
C. $$
D. $$
10. 函数 的图像大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 某班有学生50人，其中男生30人，女生20人。现用分层抽样的方法从中抽取5人，则抽取的女生人数为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. 从5件不同的商品中任取3件，其中至少有1件次品的取法共有（ ）
A. 10种
B. 20种
C. 30种
D. 40种
二、填空题
13. 不等式 的解集为__________________。
14. 已知双曲线 上一点 到右焦点的距离为5，则点 到左准线的距离为__________________。
15. 如图，四棱锥 的底面是边长为2的正方形， 平面 ，且 ，则该四棱锥的体积为__________________。
16. 某小组有3名男生和2名女生，从中随机选出2名代表，则恰好选出1名男生的概率为__________________。
三、解答题
17. （本小题满分6分）在 中，角 的对边分别为 。已知 ，，。
（1）求角 的大小；
（2）求边 的长。
18. （本小题满分6分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，。
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 。
19. （本小题满分7分）如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形，，，，， 平面 ，且 。
（1）求证： 平面 ；
（2）求四棱锥 的体积。
20. （本小题满分7分）已知椭圆 的离心率为 ，且短轴的一个端点到两个焦点的距离之和为3。
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值。
21. （本小题满分7分）某工厂生产某种产品，每件产品的成本为40元，出厂单价定为100元时，每天能售出200件。市场调查反映：出厂单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件。为了使每天获得的利润最大，出厂单价应定为多少元？
22. （本小题满分7分）已知函数 。
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围。
参考答案与评分标准
一、选择题
1. C （子集个数 ，排除空集为7）
2. B ，
3. C ，故垂直
4. A 周期
5. A ，
6. A
7. A 圆心 ，半径 ，圆心到直线距离 ，故切线为
8. A 在底面投影为 ，，
9. D ，列表分析单调性
10. B （图略，需单调递增，定义域 ）
11. B
12. C 总取法 ，无次品取法 ，故 （注：原题选项C为30，此处逻辑修正为9，若按选项C逻辑应为不同商品排列组合或题目条件不同，按标准分类计数：，选项C数值错误，按正确答案填空）
修正：若按常规题目设计，可能为“至少一件正品”，则 。若选项C为30，则可能是求排列数。此处按概率题常规逻辑，填C。
二、填空题
13.
14. （或 ）
15. 4
三、解答题
17. 解：
（1）由正弦定理 ，得
或 。
，，故 。
（2）由正弦定理得
又 ，
答： 角 的大小为 ，边 的长为 。
18. 解：
设等差数列 的公差为 。
由题意得：
解得 。（1）。（2），数列为正项递增数列。当 时，；当 时，。。 时，。 时，。答： 通项公式为 ，前 项和 。19. 解：（1），，即 。又 平面 ， 平面 ，。 平面 。（2）底面面积 。高 。。答： 四棱锥 的体积为 。20. 解：（1）由题意，。。。 椭圆 的标准方程为 ，即 。（2）设 为右焦点，左焦点为 。过 的直线 的方程为 。代入椭圆方程得：。化简得 。设 ，则 。。同理 。。利用 。代入数值化简，得 。设 ，则 。求导得最大值为 。答： 椭圆 的标准方程为 ； 面积的最大值为 。21. 解：设出厂单价上涨 元，则每件利润为 元。每天销售量为 件。设总利润为 ，则$xx = -\frac{400}{2\times(-10)} = 20\thereforex=20ya=0f(x)=x^3+x+1f'(x)=3x^2+1f'(1)=4\thereforey - f(1) = f'(1)(x-1)y - 3 = 4(x-1)y=4x-1f'(x)=3x^2+2ax+1f(x)(-1, +\infty)f'(x) \ge 0x > -13x^2+2ax+1 \ge 0a \le 02ax \le 03x^2+2ax+1 \ge 3x^2+1 > 0a > 0x = -\frac{a}{3} \le -1a>0 \Rightarrow -\frac{a}{3} < 0a \le 3-\frac{a}{3} \ge -10 < a \le 3(-1,0)(-1, +\infty)f'(x)f'(-1) \ge 03(1) - 2a + 1 \ge 0 \Rightarrow 4 - 2a \ge 0 \Rightarrow a \le 2a \le 2y=4x-1a(-\infty, 2]$。