一维热传导方程(Richardson格式).doc

中南林业科技大学
偏微分方程数值解法
学生姓名:周晓虹
学号:20083710
学院:理学院
专业年级:08信计1班
设计题目:一维热传导方程的Richardson格式


2011年06月
问题介绍
考虑一维热传导方程:
(1)
其中a是正常数,是给定的连续函数。按照定解条件的不同给法,可将方程(1)的定解问题分为两类:
第一类、初值问题(也称Cauthy问题):求具有所需次数偏微商的函数,满足方程(1)()和初始条件:
(2)
第二类、初边值问题(也称混合问题):求具有所需次数偏微商的函数,满足方程(1)()和初始条件:
(3)
及边值条件
(4)
假定在相应区域光滑,并且在满足相容条件,使上述问题有唯一充分光滑的解。
区域剖分
考虑边值问题(1),(4)的差分逼近。去空间步长和时间步长,其中N,M都是正整数。用两族平行直线:
将矩形域分割成矩形网格,网格节点为。以表示网格内点集合,即位于开矩形G的网点集合;表示所有位于闭矩形的网点集合;=--是网格界点集合。
差分格式
第k+1层值通过第k层值明显表示出来,无需求解线性代数方程组,这样的格式称为显格式。
第k+1层值不能通过第k层值明显表示出来,而由线性代数方程组确定,这样的格式称为隐格式。
Richardson格式
(8) ,
或
(9) 。
这是三层显示差分格式。
截断误差阶为:
。
为了使计算能够逐层进行,除初值外,还要用到,这可以用前述二层差分格式计算(为保证精度,可将[0,]分成若干等份)。
格式稳定性
通过误差估计方程

(1) 可知对任意的r ,Richardson格式都不稳定,所以Richardson格式绝对不稳定。
数值例子
例1 令f ( x ) = 0和a = 1,可求得u(x,t)一个解析解为u ( x , t ) =exp ( x + t )。
用Richardson格式验证数值结果如下:
请输入n的值(输入0结束程序):
5
请输入m的值(输入0结束程序):
5
xj tk 真实值x[i][k] 近似值u[i][k] 误差err[i][k]