曲线拟合的最小二乘法..doc

实验三函数逼近与曲线拟合
一、问题的提出:
函数逼近是指“对函数类中给定的函数,记作,要求在另一类简的便于计算的函数类中求函数,使与的误差在某中度量意义下最小”。函数类通常是区间上的连续函数,记作,称为连续函数空间,而函数类通常为次多项式,有理函数或分段低次多项式等,函数逼近是数值分析的基础。主要内容有:
(1)最佳一致逼近多项式
(2)最佳平方逼近多项式
(3)曲线拟合的最小二乘法
二、实验要求:
1、构造正交多项式;
2、构造最佳一致逼近;
3、构造最佳平方逼近多项式;
4、构造最小二乘法进行曲线拟合;
5、求出近似解析表达式,打印出逼近曲线与拟合曲线,且打印出其在数据点上的偏差;
6、探讨新的方法比较结果。
三、实验目的和意义:
1、学****并掌握正交多项式的MATLAB编程;
2、学****并掌握最佳一致逼近的MATLAB实验及精度比较;
3、学****并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB实验及精度比较;
4、掌握曲线拟合的最小二乘法;
5、最小二乘法也可用于求解超定线形代数方程组;
6、探索拟合函数的选择与拟合精度之间的关系;
四、算法步骤:
1、正交多项式序列的生成
{(x)}:设(x)是上首项系数a0的次多项式,为上权函数,如果多项式序列{(x)}满足关系式
则称多项式序列{(x)}为在上带权正交,称(x)为上带权的次正交多项式。
1)输入函数和数据;
2)分别求的内积;
3)按公式①计算,生成正交多项式;
流程图:
开始
输入函数和数据
给出初始条件
求的内积
求的内积
计算
否

是
结束
2、最佳一致逼近多项式
,若存在使得,则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式,简称最佳逼近多项式。
现在我们所求的是最佳一次逼近多项式,其中
①
②
1)输入函数和数据;
2)计算和;
3)求和;
4)按公式②,计算;
5)生成最佳一次逼近多项式;
流程图:
开始
输入
计算
计算
求
计算
否

是

结束

3、最佳平方逼近多项式
对及中的一个子集,若存在使||
则称是在子集中的最佳平方逼近函数。
若取则要在中求次最佳平方逼近多项式
此时
若用H表示对应的矩阵,既
称为希尔伯特距阵,记则的解即为所求。平方误差为;
1)输入函数和数据;
2)求;
3)解方程组,解出;
4)生成最佳平方逼近多项式;
流程图:
开始
输入
求
解希尔伯特矩阵,
求;
否
是
结束
4、曲线拟合的最小二乘法
由已知的离散数据点选择与实验点误差最小的曲线称为曲线拟合的最小二乘法。
若记
上式可改写为这个方程成为法方程,可写成距阵形式
其中
。
它的平方误差为:
1) 按照最小二乘法的性质构造Gram 矩阵G,并求解Ga=d;构造的时候首先构造一个零矩阵A;
2)然后开始构造Gram 矩阵(在下面程序里我们把克莱姆矩阵用A来表示)
3)然后求列矩阵b,因为Aa=b,所以求 a=A\b;(d就是列矩阵b);
4)然后找对应数据的最小二乘拟合方程和画出它的图像;
5)在m文件里制好以上规定的程序后,在matlab的命令窗口输入数组x和数组y 及所选择的拟合多项式次数 m,然后执行就可以得到曲线二乘拟合方程和它的图像。
流程图:
五、Matlab程序源代码:
1、正交多项式序列的生成
function gouzaozhengjiaoduoxiangshi
数值例题:
1)当区间为,权函数时,由正交化得到的多项式就成为勒让德多项式,它的表达式为, ;
递推公式为
由,利用(1)就可推出

…

1


-1 1
-1
2)当权函数,区间为时,由序列正交化得到的多项式就是切比雪夫多项式,它可表示为
若令,则
递推关系可推出
…
1

-1 1

-1
2、最佳一致逼近多项式
function yicibijin
数值例题:(1)求在[0,1]上的最佳一次逼近多项式;
结果为:
;
误差限为
3、最佳平方逼近多项式
function pingfang
数值例题:
设,求上的一次最佳平方逼近多项式;结果为:
,;
4、曲线拟合的最小二乘法:
function p=nihe(x,y,m)
数值实例:
例1:下面给定的是乌鲁木齐最近1个月早晨7:00左右(新疆时间)的天气预报所得到的温度数据表,按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像.
(2006年10月26~11月26)
天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10