平面上能够确定勾股数组的整数点.doc

题目: 平面上能够确定勾股数组的整数点
(Tn the plane can determine
that cancels the stock array the integral point)
作者:梁长生
单位:陕西省彬县紫薇中学
邮编:713500
内容摘要:本文通过对不定方程a2+b2=c2的正整数解的研究得出:一、关于平面上能够确定勾股数组的命题及其引申的四个命题,同时得出四个平行命题。二、勾股数组确定图以及由“确定图”得出的七个结论。论文由数形结合,从新的角度探求出勾股数组新的确定方法,在目前属于独创。
关键词:整点非零整点正整数点引申命题平行命题确定勾股数组勾股数定 
 
说明:1、本文中涉及到的勾股数组(a,b,c)为有序三元组。
2、本文所述非零整点(x,y)的定义是:在直角坐标系中由非零有序整数x,y决定的所有点(x,y)叫非零整点。
3、正整点(x,y)的定义是:在直角坐标系中,由有序正整数决定的所有点(x,y)叫正整点。
勾股数问题历来是一个古老而重要的数学问题。对于它确定可以有多种方法。本文谈谈用平面上的整数点()确定勾股数组,以探求新的确定方法。
一、定义:满足不定方程
a2+b2=c2
的正整数a,b,c叫做勾股数。把a,b,c 这一组数教做勾股数组。
二、命题:平面上能够却蒂诺勾股数组的整数点满足什么条件呢?为此,根据不定方程有关理论给出一下命题。
【命题1】:如果两个非零同号整数x,y满足
ⅠxⅠ>ⅠyⅠ,那么,由x,y 可以确定出形如a=2xy,b= x2-y2,c=x2+y2的勾股数。
证明:因为x,y是非零同号整数,且ⅠxⅠ>ⅠyⅠ,
故 a,b,c都为正整数
又 a2+b2= (2xy)2+ (x-y)2
=(x+y)2=c2
于是,由定义知a,b,c组成勾股数组
故命题成立。
由此命题得出结论:平面上能够确定勾股数组的整点(x,y)具有特征:x,y为非零同号整数,且ⅠxⅠ>ⅠyⅠ。
一、    命题的引申:
在【命题1】的条件下,为了探求所确定的勾股数组中最小的奇偶特征,给出以下命题。
【命题2】:如果两个正整数满足
x= y+ (2k+1)
y≥ 2k+1 (k= 0,1,2,3……)
那么,由 x,y 确定出形如【命题1】所述勾股数组a,b,c 的最小数为大于或等于3的奇数。
证明:因为x,y为两个正整数
又x= y+ (2k+1) (k= 0,1,2,3……)
所以,x>y
故a=2xy,b= x2-y2,c=x2+y2 均为正整数,且a2+b2=c2成立。
下来证明min{a,b,c}≥3,且为奇数。
由于x= y+ (2k+1)
y≥ 2k+1 (k= 0,1,2,3……)
所以
a-  b=2xy-( x2-y2)
=2(y+2k+1)y-[(y+2k+1)2-y2]
=2y2-(2k+1)2≥2(2k+1)2-(2k+1)2
=(2k+1)2≥1
又b<a
显然b<c,a<c
所以b<a<c, 即b最小。
又因为
b= x2-y2,
=(y+2k+1)2-y2
=2(2k2+2ky+y+2k)+1≠0 (mod 2)
故b为奇数。
又 min k=0, min y=