5年级数学-数字迷.doc

数阵图与数字谜
一、例题
(年“希望杯”第二试)在右图所示○内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是,若、、的和为,则三个顶点的三个数的和是__________。
由于每条边上的三个数的和都是,所以把这三条边上的三个数的和都加起来,总和应为,在其中,、、各算了一次,三个顶点的三个数各算了两次,所以三个顶点的三个数的和为。
(年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)将这十二个自然数分别填入右图的个圆圈内,使得每条直线上的四个数之和都相等,这个相等的和为__________。
由于每条直线上的四个数之和都相等,设这个相等的和为,把所有条直线上的四个数之和相加,得到总和为;另一方面,在这样相加中,由于每个数都恰好在两条直线上,所以每个数都被计算了两遍。所以,,得到,即所求的相等的和为。
(年“走进美妙的数学花园”决赛)如右图所示,,,,,,,,,,表示这个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和,例如“”。请将表中其它的数全部填好。
由于,,所以,所以和只能是和。因此可以推出:,,,,,,,,,。可得右下图。
(年“走进美妙的数学花园”初赛)从、、…这个数中选出个不同的数放入的方格表中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这个数中最多有__________个质数。
中的质数有、、、、、、、,共个。如果这个质数都用上,无论另外一个数是奇数还是偶数,根据奇偶性分析,都无法满足题目的要求。所以
个质数不可能都用上,最多只能用个。若用个,只有用、、、、、、这个奇数,再加上两个奇数和时,恰好是个连续奇数,方格表可以填出,如右图。故这个数中最多有个质数。
[前铺] 在右图的每个空格中填入一个数字,使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于。
[分析] 我们知道填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于,而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于,比填图的幻方大了,相当于每个数都大了,所以只需要把填图的幻方中的每个数都加就可以了。
[前铺] 将、、、、、、、、填入的方格内,使其构成一个幻方。
[分析] (法):中心数为,然后将其余个数分为组,每组两个数的和是,把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内,实验可得结果,如右图。答案不唯一,仅供参考。
(法):其实会学****的小朋友知道利用已经学****过的一些典型题目的结果加以变形得到新题的答案。事实上我们可以把本题中的幻方看作是填图的幻方相应位置的数字乘以再减得来的。推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。
在右图所示立方体的八个顶点上标出中的八个,使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于,并且不能被未标出的数整除。
标出的八个数之和是每面四个数之和的倍,是偶数,的和为,因此未标出的数是一个奇数,只能是、、、、中的一个,并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除,由于、、、都不满足这一条件,依此可知未标出的数是。
下面用余下的个数填图,每面四个数之和为:。如果已知某一面上四个数的和为,那么与其平行的面上的四数之和也必为。因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可。下面我们考虑以为公共顶点的三个面,由于,不共面,因此在顶点的对顶点上,有公共点的三个面上,每面其余三个数之和为,且每两个面有一个公共顶点,由此试验易得三个面上的数分别为:,,