交大有限元分析 第五章等参数单元（第一部分）.doc

等参数单元(Isoparametric Elements)
在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。这两种单元的边均为直边,用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元,可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题,而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元),在母体单元上构造形函数,再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面:几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换,由于两种变换采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数,故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元
母体单元自然坐标和形函数
(1,1)
η
ξ
(-1,-1)
1
3
4
2
图5-1
母体单元ê :边长为2的正方形,自然坐标系ξ,η示于图5-1。取四个角点为结点,在单元内的排序为1、2、3、4。仿照矩形单元,可定义出四个形函数
(5-1-1)
显然有如下特点:
(i) 是ξ,η的双线性函数
(ii)
(iii)
(5-1-2)
实际单元与母体单元之间的坐标变换
坐标变换
设xy平面上的实际单元e由母体单元经过变换F得到,即且规定结点(ξi,ηi)与结点(xi, yi)对应(i=1~4)。这样的变换不只一个,利用(5-1-1)定义的形函数即可写出这种变换中的一个
(5-1-3)
x,u
y,v
3
2
4
1
ξ=-1
η=1
ξ=-1/2
ξ=0
ξ=1/2
ξ=1
η=1/2
η=0
η=-1/2
η=-1
图5-2
0
(5-1-3)所定义的变换有如下特点:
x, y是ξ,η的双线性函数。沿母体单元中η=常数的直线(坐标线),x, y是ξ的线性函数,对应于单元e中的一组直线,特别,单元e的一组对边1-2、3-4为直线。类似,ê中ξ=常数的另一组坐标线对应于单元e中的另一组直线。特别,e的另一组对边2-3、4-1也是直线,单元e为直边四边形。单元ê的其他直线(例如对角线1-3),变换到单元e中将是一条曲线(图5-2)
(2)Jacobi矩阵 Jacobi 行列式
矩阵
(5-1-4)
称为变换的Jacobi矩阵。detJ称为变换的Jacobi行列式。一般情况下,[J]的元素和detJ都是ξ,η的函数。若detJ恒不为零(一般使它恒正),则[J]-1存在,变换F存在逆变换F-1。
使单元e内的任一点(x, y)对应于单元ê内的一确定点(ξ,η)。此时称变换F为非奇异的。detJ称为变换特征量。
detJ还具有明显的几何意义,如图5-3所示。设在(ξ,η)处detJ≠0在(ξ,η)附近取一边长为dξ,dη的长方形。设此长方形与单元e内的一个小子区域dσ对应,可以证明,此小子域的面积dσ在略去高阶微量后有
e
dσ
ê
(ξ,η)
dη
dξ
图5-3
(x,y)
例图5-4所示的实际单元e为边长分别为2a、2b的矩形。
结点坐标为:
α
2a
2b
1 (c,d)
4

2
3
0
x
y
图5-4
则由(5-1-3),可得出坐标变换为
同样得到:
表明:当实际单元e为矩形时,经坐标变换得到的x, y是ξ,η的线性函数。Jacobi 矩阵
Jacobi 行列式
在单元内是常数。当结点序号按图5-4的转向排列时,detJ恒正。
单元内假设的位移场
对于平面问题,设沿总体坐标系的位移为u、v,结点(xi, yi)的位移为ui,vi实际单元e 内的假设位移场(Trial function)取为
(5-1-5)
注意,这里u、v虽然是用点的自然坐标ξ,η表述的,但位移u、v (以及后面的单元刚度矩阵)却是对总体坐标系的。这与第二章中在单元局部坐标系下定义位移场的作法有区别。
在坐标变换(5-1-3)和假定的位移场(5-1-5)中使用的是同一套变换关系(形函数),同一套变换参数(与(xi, yi)对应的结点位移(ui,vi))满足这一特征的单元称为等参数单元。这样定义单元有不少优点,但也对我们提出了一些新问题。假定的位移场是ξ,η的双线性函数,当实际单元为矩形时,
ξ,η可表示成x, y的线性函数,假定的位移场u、v是x,y的多项式。但对一般单元而言,ξ,η不能表示成x,y的多项式,因而位移场u、v不再是x,y的多项式,不能直接利用第四章的结果进行收敛性分析。
收敛性分析
单元内位移场连续
x、y、u、v都是ξ,η的双线性函数(连续函数)。只要Jac