陈湘平(异曲同工的几道探究题赏析).doc

异曲同工的几道探究题赏析
广东省珠海市第四中学(519015)陈湘平
在现行的新教材七年级数学上册安排了线(直线、线段、射线)和角的有关内容,其中涉及到有关有多少条线段、有多少个角等数数的探究性问题,细究一番,发现了其异曲同工之妙。
D
C
B
A
如图所示,共有多少条线段?如果线段上共有n个点(包括端点),则共有多少条线段?
解:(1)易知上图中的线段有AC,AD,AB;CD,CB;DB共6条。
(2)我们先从简单的情形入手:
A
B
线段AB
A
B
C
线段AB,AC;BC
D
B
A
C
线段AB,AC,AD;BC,BD;CD
如果用表格来整理的就不难观察、推理出问题的答案:
线段上的点数(包括端点)
线段的条数
2
1=1
3
3=1+2
4
6=1+2+3
C
……
……
n
?=1+2+3+……+(n-1)
以此类推,如果线段上共有n个点(包括端点),则共有1+2+3+……+(n-1)条线段。
D
C
B
O
A
如图所示,共有多少个角?如果由一个点出发共有n个射线,则共有多少个角?
解:(1)右图的角有∠AOB,∠AOC,∠AOD;∠BOC,∠BOD;∠COD共6个。
B
O
A
(2)我们先从简单的情形入手:
B
A
C
O
∠AOB

D
C
B
O
A
∠AOB, ∠AOC;∠BOC

∠AOB,∠AOC,∠AOD;∠BOC,∠BOD;∠COD
同样可以用表格来整理观察、推理出问题的答案:
射线条数
角的个数
2
1=1
3
3=1+2
4
6=1+2+3
C
……
……
n
?=1+2+3+……+(n-1)
同理,如果由一个点出发共有n个射线,则共有1+2+3+……+(n-1)个角。
两条直线相交,有一个交点,三条直线相交,最多有多少个交点?四条直线呢?你能发现什么规律或有什么猜想?
解:如下图所示易知:
三条直线相交,最多有三个交点;
四条直线相交,最多有六个交点;
与上两例同,不难得到如果有n个直线相交,则最多有1+2+3+……+(n-1)个交点。
一条直线可以把平面分为两个部分,两条直线最多可以把平面分为四个部分,那么三条直线最多可以把平面分为几个部分?四条直线呢?你能发现什么规律或有什么猜想?
解:如下图所示易知:
一条直线可以把平面分为两个部分;
两条直线最多可以把平面分为四个部分;
三条直线最多可以把平面分为七个部分;
四条直线最多可以把平面分为十一个部分。
相交直线条数
最多分平面得的部分数
1
2=1+1
2
4=1+1+2
3
7=1+1+2+3
4
11=1+1+2+3+4
C
……
……
n
?=1+1+2+3+……+(n