弦CD垂直于圆O的直径AB.doc

C1-111 弦CD垂直于圆O的直径AB,:弦DE平分弦BC.
【题说】第二十一届(1995年)全俄数学奥林匹克九年级题2.
【证】如图,设AE与BC相交于F点,DE交直径AB于K点,BC交DE于M.
以∠AED=∠ABC,因此,点F、K、∠FKB=180°-∠FEB=90°,所以FK∥CD.
作CG∥AB交AF的延长线于G点.
由△AOH≌△GCH得CG=AO=AB/△AFB∽△GFC,得
所以  BF=2CF.
再由△BLC∽△BKF,得
由△MKF∽△MDC,得
即 MC=3MF,CF==2CF,所以
MB=BF-MF=2CF-MF
=4MF-MF=3MF=MC 
C1-112 已知AB是半圆O的直径,一直线交半圆于C、D,交AB于M(MB<MA,MD<MC),设K是△AOC和△:∠MKO是直角.
【题说】  第二十一届(1995年)全俄数学奥林匹克十年级题6.
【证】  设△AOC的外接圆圆心为O1,OP为直径;△DOB的外接圆圆心为O2,OQ为直径(如图).连心线O1O2垂直平分公弦OK且O1O2是△OPQ的中位线,所以直线PQ通过K点且垂直于OK.
线段PO是过A点的圆O1的直径,所以∠PAO是直角,因此线段PA与半圆O相切,同理PC、QB、QD都与半圆O相切.
∥QD交DC的延长线于E点,则∠QDM=∠=FD得∠QDM=∠FDC=∠FCD=∠PCE,所以PC=PE,又PC=PA,QB=QD.△PAE与△QBD都是等腰三角形,且边PA∥QB,PE∥QD,所以∠PAE=(180°-∠APE)/2=(180°-∠BQD)/2=∠QBD,AE∥,位似比为MA∶MB的位似变换将点B变为点A,点D变为点E,又因为△PAE∽△QBD,所以点Q位似变换为点P,这就是说PQ过M点,从而∠MKO=90°. 
C1-113 在△ABC的三边AB、BC与CA上分别取点M、K、L(不与△ABC的顶点重合),证明:△MAL、△KBM、△LCK中至少有一个的面积不大于△ABC面积的四分之一.
【题说】第八届(1966年).
【证】因为
 
C1-114 过三角形的重心任作一直线,:这两部分面积之差不大于整个三角形面积的1/9.
【题说】1978年安徽省赛二试题3.
【证】设直线过△ABC的重心G,分别交AB、AC于D、E.
过G作BC的平行线,分别交AB、AC于P、,所以PG=GQ.
设E在线段AQ上,,分别交DE、BF于R、S.
易知RG=GE,SG=GF,所以
S△PDG>S△PRG=S△QEG                                                                                                         (1)
S△DBG>S△RSG=S△EFG