基本不等式教案.doc

基本不等式
知识点:

(1).
(2),其中和分别叫做正数a,b的平均数和平均数.
变式:
以上各不等式当且仅当时取等号.

设都为正数,则有(1)若(和为定值),则当时,积取得最大值;(2)若(积为定值),则当时,和取得最小值.
利用基本不等式求最值应注意:①x,y一定要都是正数;②求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,看积xy 是否为定值;③等号是否能够成立.
以上三点可简记为“一正二定三相等”. 利用基本不等式求最值时,一定要检验等号是否能取到,若取到等号,则解法是合理的,若取不到,则必须改用其他方法.
常用到的一个不等式:若,则有
.(当且仅当“a=b”取等号)
注意:
当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,
当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一:求最值
例:求下列函数的值域
(1)y=3x 2+ (2)y=x+
解:(1)y=3x 2+≥2= ∴值域为[,+∞)
(2)当x>0时,y=x+≥2=2; 当x<0时, y=x+= -(- x-)≤-2=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)
解题技巧
技巧一:凑项
例已知,求函数的最大值。
技巧二:凑系数
例: 当时,求的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,的最大值为8。
变式:设,求函数的最大值。
解:∵∴∴
当且仅当即时等号成立。
技巧三: 分离换元(分离常数,分离变量)
例:求的值域。
解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
当,即时,(当且仅当x=1时取“=”号)。
解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x+1,化简原式在分离求最值。
当,即t=时,(当t=2即x=1时取“=”号)。
技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,结合函数的单调性。
例:求函数的值域。
技巧六:常数替换法(“1”的应用)
多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。
例:已知,且,求的最小值。
错解:,且, 故。
错因:解法中两次连用均值不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用均值不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤
正解:,
当且仅当时,上式等号成立,又,可得时, 。
技巧七
例:已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.
分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为, x=x =x· 下面将x,分别看成两个因式:
x·≤== 即x=·x ≤
技巧八:
已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
分析:这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一