二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 毕业论文.doc

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究_毕业论文楚雄师范学院
本科生毕业论文
题目:二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
系(院): 数学系
专业: 数学与应用数学
姓名: 韩金伟
学号:
指导教师: 黄英职称: 副教授
论文字数: 5000字左右
完成日期: 2013 年 5 月
教务处抑制
目录
摘要: II
关键词: II
Abstract: III
Keywords: III
1、引言 1
2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 1
一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值 1
(一)二元连续函数在圆域上的最值 1
(二)二元连续函数在椭圆域上的最值 4
二、二元连续函数在多边形区域上的最值 6
三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值 8
(一)二元连续函数在扇形区域上的最值 8
(二)二元连续函数在曲边梯形区域上的最值 10
参考文献 13
致谢 14
二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
摘要:本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域,多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究.
关键词:二元函数;最值;闭区域;有界;圆域;椭圆域;扇形域
Continuous functions of two variables in the study region on the closed boundary value
Abstract: This article mainly for bivariate continuous function form a closed curve of the second region, form a closed polygon area and a number of special graphics on the regional studies with the most value.
Keywords:The binary function;Best value;Closed areas;Bounded;Circular domain;Elliptical domain;Fan-shaped domain
引言
我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广,但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同. 首先,二元函数的定义域是平面点集,或是平面点集的子集,故二元函数的定义域和自变量要比一元函数要复杂的多;其次,二元函数的最值可能出现在边界曲线上,所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂. 二元函数的最值问题是高等数学的常见问题. 但现有的材料和相关论文却相对很少,针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究,在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的,所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一.
二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值
(一)二元连续函数在圆域上的最值
如何求二元连续函数在圆域上的最值,我们分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值.
首先我们对二元函数求一阶偏导数,令

求出函数的驻点,因为不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别,令,,.当时,是二元函数的极值点,所以它可能是最值点;当时,不能判定是否是二元函数的极值点,它也可能是最值点;当时,不是二元函数的极值点,也就不可能是最值点再将满足条件的的驻点代入到中求出相应的函数值
(1)
求函数在圆域边界上的函数值,,引入拉格朗日函数,对函数求一阶偏导数之后,令

求解方程组可得到圆域边界上的极值点,代入到中求得圆域边界上的函数值
(2)
综合圆域内的函数值(1)和圆域边界上的函数值(2),通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.
求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程变形为,把它代入到中,可以得到相应的一个一元函数,通过求这个一元函数的极值点,从而可得到函数在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值
(3)
再求的端点值
,. (4)
最后通过比较所得函数值(1),(3)和(4)的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.
例1 求二元函数在有界闭区域上的最值.
解由

知二元函数的驻点为,,,,.再进一步求出,,.当驻点为时,,所以驻点不是二元函数的极值点(即不是最值点),,当驻点为,,时,都分别求得,所以驻点,,都不是二元函数的极值点(即不是最值点),