浅谈对称性在桁架内力计算中的运用.doc

浅谈对称性在桁架内力计算中的运用.doc浅谈对称性在桁架内力计算中的运用
1、前言:
静定平面桁架是结构力学计算中常见的一种结构形式,为求得桁架各杆的内力,通常有结点法和截面法以及两种方法的联合运用。但在计算结构、荷载复杂,但二者又具有对称性的桁架内力时,上述三种方法都将面临较大的计算量,了解到此种情况下杆件内力形式的特殊性将大大有利于问题的解决。
2、对称结构在对称荷载下内力的特殊性
先给出结论:1、对称结构承受正对称性荷载时,内力和位移都是正对称的;2、而承受反对称荷载时,其内力和位移都是反对称的。下面利用力法来予以证明:
图1所示三次超静定对称结构在正对称荷载作用下,切断横梁去掉多约束,得到基本结构(将原超静定结构中去掉多余联系后得到的静定结构),如图2中所示。此时,多余未知力包括三对力:一对轴力X1、一对剪力X2和一对弯矩X3。X1和X2是正对称的,X3是反对称的。
图1 图2
根据力法计算步骤,作出基本结构的单位弯矩图(图3)。

图3
列力法方程:
可以看出,M1图和M2图是正对称的,而M3图是反对称的。由于正,反对称的两图相乘时恰好正负抵消使结果为零,因而可知副系数代入(a)得(b)式:

而荷载也是正对称的,则MP图也是正对称,于是有自由项得,因此只有正对称的多余未知力X1 和X2。最后弯矩图为M=M1X1+M2X2+MP,也是正对称的,其形状如M图所示。由此可得所有反力、内力及位移都是正对称的。
MP图: M图:
如果作用在结构上的荷载是反对称的(图4a),作出的MP图(图4b),同理可证,此时正对称的多余未知力X1=X2=0,只有反对称的多余未知力X3。最后弯矩图为M=M1X3 +MP,它也是反对称的(图4c),且结构的所有反力、内力和位移都将是反对称的。
(a) (b) (c)
图4
由上所述结论得证:对称结构在正对称荷载作用下,其内力和位移都是正对称的;在反对称荷载作用下,其内力和位移都是反对称的。
3、对称性在桁架内力计算中的运用
、对称荷载
此结论运用到对称桁架结构的内力计算中将大大有利于问题解决,如一桁架对称(非严格)荷载正对称(图5a),由上结论反力内力均为正对称。通过对称性判断零杆,注意K型结点C(图5b),因为正对称所以FN1=FN2,由结点平衡得FN1 = - FN2故只能有FN1=FN2=0。而桁架在反对称荷载作用下(图5c)注意到对称轴上的单杆3,由于内力反对称,此时只能有FN3=0(轴力正对称)。
(a) (b) (c)