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复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:
z=x+iy i²=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ₁θ₁称为主值-π<θ₁≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ。z=reiθ。
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定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段zk-1 zk(k=1,2…n)上任取一点xk并作和式Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)= k-1nf(xk)∆zk记∆zk= zk- zk-1,弧段zk-1 zk的长度δ=max1≤k≤n{∆Sk}(k=1,2…,n),当δ→0时,不论对c的分发即xk的取法如何,Sn有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为:
cf(z)dz=limδ 0k-1nf(xk)∆zk
设C负方向(即B到A的积分记作) c-f(z),f(z)的积分记作cf(z)dz (C圆周正方向为逆时针方向)
例题:计算积分1)cdz 2) c2zdz,其中C表示a到b的任一曲线。
(1) 解:当C为闭合曲线时,cdz=0.
∵f(z)=1 Sn=k-1nf(xk)(zk-zk-1)=b-a
∴limn 0 Sn=b-a,即1)cdz=b-a.
(2)当C为闭曲线时,cdz=0. f(z)=2z;沿C连续,则积分czdz存在,设xk=zk-1,则
∑1= k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)
有可设xk=zk,则
∑2= k-1nZ(k-1)(zk-zk-1)
因为Sn的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以
Sn= (∑1+∑2)= ∑k-1nzk(zk2-zk-12)=b2-a2
∴ c2zdz=b2-a2
定义衍生1:参数法:
f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入cf(z)dz得:
cf(z)dz= cudx - vdy + icvdx + udy
再设z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t≤β)
cf(z)dz=αβf(z(t))z(t)dt
参数方程书写:z=z0+(z1-z0)t(0≤t≤1);z=z0+reiθ,(0≤θ≤2π)
例题1: 03+iz2dz 积分路线是原点到3+i的直线段
解:参数方程 z=(3+i)t
03+iz2dz=01[(3+i)t]2[(3+i)t]'dt
=(3+i)301t2dt
=6+263i
例题2: 沿曲线y=x2计算01+i(x2+iy)dz
解: 参数方程 x=ty=t2 或z=t+it2 (0≤t≤1)
01+ix2+iydz=01(t2+it2)(1+2it)dt
=(1+i)[01t2dtdt + 2i01t3dt]
=-16+56i
重要积分结果:
z=z0+ reiθ,(0≤θ≤2π)
由参数法可得:
cdz(z-z0)n+1=02πireiθei(n+1)θrn+1dθ=irn01+ie-inθdθ
cdz(z-z0)n+1=2πi n=00 n≠0
例题1:z=1dzz-2 例题2:z=1dzz-12
解: =0 解=2πi
:
柯西-古萨特定理:若f(z)dz在单连通区域B内解析,则对B内的任意一条封闭曲线有:
cf(z)dz=0
:当f为单连通B内的解析函数是积分与路线无关,仅由积分路线的起点z0与终点z1来确定。
:设函数f(z)在单连通区域D内解析,C与C1是D内两条正向简单闭曲线,C1在C的内部,且以复合闭路Γ=C+C1
所围成的多连通区域G全含于D则有:
Γf(z)dz=cf(z)dz+c1f(z)dz=0
即cf(z)dz=c1f(z)dz
推论: cf(z)dz=k=1nckf(z)dz
例题:c2z-1z2-zdz C为包含0和1的正向简单曲线。
解: 被积函数奇点z=0和z=,互不包含的正向曲线c1和c2。
c2z-1z2-zdz=c12z-1z(1-z)dz+c22z-1z(1-z)