有限单元法及程序设计.doc

有限单元法及程序设计
绪论
:解析法,数值法
有限元法——实际结构形状和所受载荷比较复杂,大多用解析法很困难,因而数值法得到不断发展,随着电子计算机的进步,而发展起来的一种新兴的数值分析方法.
2基本步骤:
(1)结构离散化:将结构从集合上用线或面划分为有限个单元。
(2)单元分析: 导出单元的节点位移和结点力之间的关系(单元刚度矩阵)。
(3)整体分析: 将各单元组成的结构整体进行分析,导出征个结构点位移与结点力之间的关系。
3程序设计的步骤:
提出问题,拟定解决方案
构造数学模型
画出程序流程图
编写程序
编译调试程序
试算验证程序

(GB-1526-89)规定的程序流程图标准化符号及规定:

图表示程序流程图的起点和终点;
图表示数据信息的输入和输出;
图表示数据进行系列运算之前要完成的数据预置;
图表示判断条件;
图表示各种处理功能,如数学运算方式等;
图表示流程的路径和指向。
杆件结构的有限单元法及程序设计
平面杆件单元的有限单元法
有限单元法的基本概念

基本思路:先分后合(先单元分析,再整体分析)
基本概念:整体号:节点端点号按自然数1,2,3,……(在整体坐标系xOy下)
局部号:每一个单元始末用i,j标记(在单元的局部坐标系下,方向与整体坐标系一致)。
= keδe 其中: ke = 单元刚度矩阵,各元素为刚度系数
δe= 单元杆段位移列阵
Fe= 单元杆端力列阵
K=P (1-7)
K= 整体刚度矩阵= 位移列阵
P= 节点载荷列阵

刚度集成法:
①将(1-3)K扩阶,扩大的元素为0,得到单元贡献矩阵
单元①: K①= 单元②: K②=
②将单元贡献矩阵想叠加,形成整体刚度矩阵
K= K①+ K②=
两端支承条件的引入
先不考虑约束条件,得到整体刚度矩阵后,将其主对角线元素k改为1,第i行,第j列其余元素改为0,对应的载荷元素也改为0.
非结点荷载的处理
利用等效结点荷载进行分析:
各结点(包括两端结点)加约束,阻止结点转动,其约束力矩分别为交于该结点的各相关单元的固端力矩之和,顺时针为正.
去掉附加约束(相当在各结点施加外力荷载P,其大小与约束力矩相同,方向相反)
将两部分杆端弯矩叠加起来.
第二节局部坐标系中的单元刚度矩阵
一般单元
设单元的弹性模量、截面惯性矩、截面积分别为E、I、A,杆长为l。单元的i、j端各有三个杆端力、(即轴力、剪力和弯矩)和与其相应的三个杆端位移,如图1-7所示。图中为单元局部坐标系,取i点位于坐标原点,轴与杆轴重合,规定由i到j为轴的正方向,由轴顺时针旋转90◦为轴正方向。力和位移的正方向如图1-7所示。
在此单元中,单元杆端力列阵和杆端位移列阵分别为
单元杆端力列阵
杆端位移列阵
为了导出一般单元杆端力与杆端位移之间的关系,我们分别考虑以下两种情况。
首先分析两个杆端轴力与轴向位移的关系。根据胡克定律,有
(a)
其次考虑杆端弯矩与杆端剪力与杆端转角和横向位移的关系。根据结构力学位移法的转角位移方程,并按照本节规定的符号和正负号,可得
(b)
将(a)、(b)两式合在一起,并写成矩阵形式如下
(1-17)
上式可简写成(1-18)
其中单元刚度矩阵为
(1-19)
单元刚度矩阵的性质
每个元素代表单位杆端位移引起的杆端力,任一元素(r、s取1至6)的物理意义是第s个杆端位移分量等于1时,所引起的第r各杆端力分量值.
是对称矩阵,其元素.
是奇异矩阵,它的元素行列式等于零,即.
具有分快性质.
轴力单元:只考虑轴向杆端位移和杆端力的单元
单元刚度矩阵的坐标变换
上述单元刚度方程和单元刚度矩阵实在局部坐标系中建立起来的,对于一般杆件结构,分析时所划分的各单元的局部坐标系显然不同。因此在研究结构平衡条件和变形连续条件时,必须选定一个统一的坐标系xOy,称为整体坐标系。同时,还必须把在局部坐标系中建立的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。
图1-8a)、图1-8b)分别表示单元在局部坐标系和整体坐标系xOy种的杆端力分量。
为了导出整体坐标系中杆端力Xi、Yi、Mi和局部坐标系中之间的关系,将Xi、Yi分别向轴上投影,可得
a)
式中,α表示由x轴到轴之间的夹角,以顺时针为正。
图 1-8
在两个坐标系中,力偶分量不变,即
b)
同理,对于单元j端的杆端力可得
c)
将a)、b)、c)合起来,并用矩阵形式表示,可得
(1-24)
此式即为两种坐标系中单元杆端力的变换式,亦可简写为
(1-2