《利用向量法求空间角》教案.doc

§
——利用空间向量求空间角
教学目标
、直线与平面所成的角、二面角的向量方法;
;
.
教学重点
求解二面角的向量方法
教学难点
二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系
教学过程
一、复****引入
“三步曲”
(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(化为向量问题)
(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(进行向量运算)
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形)
:
(1)两向量数量积的定义:
a
b
O
(2)两向量夹角公式:
(3)平面的法向量:与平面垂直的向量
二、知识讲解与典例分析
知识点1:面直线所成的角(范围:)
(1)定义:过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´,那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角,叫做异面直线a与b 所成的角.
(2)用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为和,
问题1: 当与的夹角不大于90°时,异面直线a、b 所成
的角与和的夹角的关系?
问题 2:与的夹角大于90°时,,异面直线a、b 所成的角
与和的夹角的关系?
结论:异面直线a、b所成的角的余弦值为
思考:在正方体中,若与分别为、
的四等分点,求异面直线与的夹角余弦值?
(1)方法总结:①几何法;②向量法
(2)与相等吗?
(3)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
例1如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成的角.
解法步骤:。
。
解:如图建立空间直角坐标系,则
,
即
和所成的角为
练****1:在Rt△AOB中,∠AOB=90°,现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置,已知OA=OB=OO1,取A1B1 、A1O1的中点D1 、F1,求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解:以点O为坐标原点建立空间直角坐标系,并设OA=1,
则A(1,0,0) ,B(0,1,0) ,F1( ,0,1) ,D1( , ,1)
所以,异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为
知识点2、直线与平面所成的角(范围:)
(图1)
思考:设平面的法向量为,则与的关系?
(图2)
据图分析可得:结论:
例2、如图,正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,求和所成角的正弦值.
分析:直线与平面所成的角步骤:
1. 求出平面的法向量
2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角,(锐角)其余角为所求角
解:如图建立空间直角坐标系,则
A
B
C
A1
B1
C1
x
y
Z
D
设平面的法向量为
由
取,
和所成角的正弦值.
练****正方体的棱长为1,点、分别为、