用拉氏变换法解线性微分方程.doc

用拉氏变换法解线性微分方程
基本定义
∞
0
若函数f(t),t为实变量,线积分
∞
0
∫ f(t)e-st dt (s为复变量)存在,
则称其为f(t)的拉氏变换,记为F(s)或£[f(t)],即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e-st dt
常称:F(s)→f(t)的象函数;
f(t) →F(s)的原函数。
基本思路
用拉氏变换解线性微分方程,可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算
拉氏变换
象函数
微分方程
解代数方程
拉氏反变换
象原函数
(微分方程解)
象函数
代数方程
f(t)
三典型函数的拉氏变换
1
1、单位阶跃函数
0
f(t)=1(t)= 1 t≧0
∞
0
∞
0
t
0 t <0
F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e-st dt =∫ 1 e-st dt =1/s
f(t)
2、单位斜坡函数
f(t)= t 1(t) = t t≥0
∞
0
0 t<0
t
F(s)=£[f(t)]= ∫ t e-st dt =1/s²
3、等加速度函数
f(t)
f(t) = 1/2 t² t≥0
∞
0
0 t<0
t
F(s) = ∫ 1/2 t² e-st dt = 1/s³
4、指数函数
f(t)
αt
f(t)= e t≥0
0 t<0
∞
0
t
F(s)= ∫ 1/2 t² e-st dt =1 / (s-α)
f(t)
5、正弦函数
f(t)= sinwt t≥0
t
∞
0
0 t<0
F(s) =∫sinwt e-st dt
= w/(s²+w²)
四拉氏变换的几个法则
对于一些简单原函数,可根据拉氏变换定义求象,但对于较复杂的原函数,必须用到下面几个定理求取其象函数:
线性定理
若:£[f1(t)]=F1(s) , £[f2(t)]=F2(s) (a、b为常数)
则£[a f1(t) + b f2(t)] = aF1(s) + bF2(s)
微分定理
n-1
若:£[f(t)]=F(s)
i=0
则£[dⁿf(t)/dtⁿ]=sⁿF(s) - ∑sn-i-1 f(i) (0)
式中f(i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值
若 f(i) (0) = 0 (a=1,2,…n)
则£[dⁿf(t)/dtⁿ] =sⁿF(s)
积分定理
若:£[f(t)]=F(s) , 在零初始条件下:
则£[∫…∫f(t)dtⁿ]=1/sⁿ F(s)
位移定理(延时定理)
-sto
若:£[f(t)]=F(s)
-αt
则时域:£[f(t-t0)1(t-t0)] = F(s)e
S域:£[f(t)e ] = F(s+α)
初值与终值定理
若:£[f(t)] = F(s) ,且f(t)的拉氏变换存在,
s→∞
t→0
则 f(0)=limf(t) = lim s F(s)

s→0
t→∞
f(∞)=limf(t)=lim sF(s)
例:求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数
解:
F(s)= £[A 1(t)]= A £[1(t)]=A 1/s
例: