高等代数【北大版】5.2.ppt

第五章二次型
§ 二次型的矩阵表示
§ 标准形
§ 唯一性
§ 正定二次型
章小结与****题
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一、二次型的标准形
二、合同的变换法
三、小结
§ 标准形
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§ 标准形
二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型
它的矩阵是对角阵
平方和的形式?若能,如何作非退化线性替换?
任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成
?
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§ 标准形
证明:
对二次型变量个数n作归纳法.
假定对n-1元二次型结论成立.
一、二次型的标准形
过非退化线性替换化成平方和的形式.
1、(定理1)数域P上任一二次型都可经
n=1时,
结论成立.
下面考虑n元二次型
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§ 标准形
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§ 标准形
这里,
是一个.
的n-1元二次型.
配方法
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§ 标准形
它是非退化的,
且使
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§ 标准形
使它变成平方和
于是,非退化线性替换
由归纳假设,对有非退化线性替换
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§ 标准形
就使变成
2)
但至少有一个
不妨设
作非退化线性替换:
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§ 标准形
不为零.
由情形1)知,结论成立.
则
这是一个的二次型,且的系数
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§ 标准形