高等代数【北大版】6.4.ppt

§2 线性空间的定义
与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§7 子空间的直和
§8 线性空间的同构
§6 子空间的交与和
小结与****题
第六章线性空间
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一、向量的形式书写法
二、基变换
§ 基变换与坐标变换
三、坐标变换
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§ 基变换与坐标变换
引入
我们知道,在n维线性空间V中,,,,即随着基的改变,向量的坐标是如何变化的.
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§ 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间, 为
V 中的一组向量, ,若
则记作
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§ 基变换与坐标变换
则记作
2、V为数域 P 上 n 维线性空间, ;
为V中的两组向量,若
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§ 基变换与坐标变换
在形式书写法下有下列运算规律
1)
若
线性无关,则
注:
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§ 基变换与坐标变换
2) ; 为V中的两组向量,
矩阵,则
;
;
;
若
线性无关,则
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§ 基变换与坐标变换
1、定义
设V为数域P上n维线性空间, ;
为V中的两组基,若
①
即,
二、基变换
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§ 基变换与坐标变换
则称矩阵
为由基到基的过渡矩阵;
称①或②为由基到基
的基变换公式.
②
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§ 基变换与坐标变换
2、有关性质
1)过渡矩阵都是可逆矩阵;反过来,任一可逆
矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵.
证明:若为V的两组基,
且由基的过渡矩阵为A,
即
又由基也有一个过渡矩阵,
设为B,即
③
④
比较③、④两个等式,有
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§ 基变换与坐标变换