高等代数【北大版】8.4.ppt

§2 λ-矩阵的
标准形
§3 不变因子
§1 λ-矩阵
§4 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形
的理论推导
§5 矩阵相似的条件
小结与****题
第八章λ─矩阵
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§ 矩阵相似的条件
定理:
数字矩阵相似与等价.
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§ 矩阵的相似
设P为数域若有,
则A与B相似.
证:由
得
即
引理1:
①
使
∴ A与B相似.
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§ 矩阵的相似
对任意及任意-矩阵
使
②
③
一定存在-矩阵及
引理2:
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§ 矩阵的相似
证:
这里且
设
i) 若则令
ii)若设
这里为待定矩阵.
于是
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§ 矩阵的相似
要使①式成立,只需取
即
即可.
同理可证②.
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§ 矩阵的相似
设,则A与B相似
特征矩阵与等价.
定理:
证:
若A与B相似,则存在可逆矩阵T,
于是
由定理6之推论,得
与等价.
使
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§ 矩阵的相似
若与等价,
则存在可逆-矩阵,使
④
及,使
存在-矩阵
由引理2,对于A,
⑤
⑥
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§ 矩阵的相似
由④,有
即,
比较两端,得
⑦
⑧
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§ 矩阵的相似
下证T可逆.
由⑦有,
即
比较两端,得
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§ 矩阵的相似