学习数理逻辑学的意义.doc

学习数理逻辑学的意义.doc学****数理逻辑学的意义
简要介绍数理逻辑的发展史,探讨数理逻辑在现代数学的解决、论证数学命题过程中的运用,以及学****这门课程的必要性。
逻辑是研究推理的科学,分为形式逻辑和辨证逻辑。数理逻辑学开始于用数学方法对形式逻辑中推理规律的研究,后来进一步发展到对数学中基础性问题及逻辑性问题的研究。现在数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一门科学,也就是用数学方法研究推理的科学。所谓数学方法[1],主要是指引进一套符号体系的方法,因此数理逻辑又叫符号逻辑。现代数理逻辑主要有四大分支:证明论、模型论、递归论和公理集合论,其中命题演算和谓词演算(即一般的所谓古典数理逻辑)是各个分支的共同基础。
命题是形式逻辑中的基本术语,也是数学中最基本的元素。一个命题是一个或真或假而不能两者都是的断言,也就是说,命题是一个非真即假的陈述句。由此我们可以看出一个命题具有两种可能的取值:如果命题是真,我们说它的真值为真,通常用T(True)表示;反之,用F(False)表示真值为假的命题。在计算机语言中则是分别用1和0来表示一个命题真值的真假。像这样只有两种取值的命题逻辑称为二值逻辑。命题的真值与所讨论问题的范围有关,不能一概而论的说某个命题一定是真或一定是假。在所有断言中有叫悖论的断言值得一提。
数学命题包括简单命题(亦称原子命题,)和复合命题。前者是只用一种判断性谓语动词叙述某事物的属性、发展趋势、变化方式等状态的语句或数学表达式。把一个或几个简单命题用联结词(与、或、非等)联结所构的新的命题,就是复合命题。基本的逻辑联结词有:
⑴表示“非P”含义的否定词;⑵有“与”、“并且”含义的合取词∧;⑶表达“或者”、“也许…也许…”含义的析取词∨;⑷表达“如果…那么…”因果关系含义的蕴涵词→。所有的命题被翻译成复合命题后,根据真值表来判断命题真值的真或假。
数理逻辑学在数学理论研究中也有到很多的应用,并不只是单单在离散数学中或普通命
题演算中显示其作用。逻辑演算理论是一种有效的工具,如果熟练地掌握了逻辑演算的方法和技巧,就为进一步了解和掌握诸如归结原理、逻辑程序设计和定理自动证明等奠定了基础。
尤其是前面提到的数理逻辑的四个分支,都是现在数学理论研究的重要工具。比方说,递归论应用于数学中不少判定问题的解决(著名的如群论字问题的否定解决,Hilbert第十问题的否定解决);模型论应用与不少代数及分析数学问题的证明;公理集合论应用于不少数学问题独立性的证明。
数理逻辑学的任务在于探讨如何为整个数学建立严格的逻辑基础,其特点在于使用形式
化的方法包