c语言计算机编程三种方法求解非线性方程.doc

本科专业学年论文
题目:非线性方程求解比较
姓名: 何娟
专业: 计算机科学技术系
班级: 08级本科(2)班
指导老师: 刘晓娜
完成日期: 2010年 11 月 21 日
题目:非线性方程求解比较
摘要
本文给出了三种求解非线性方程的方法,分别是二分法,牛顿迭代法,割弦法。二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值,缩小隔根区间,以期望得到更快的收敛速度。牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说,牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M重根时,M是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F()-F()/ (- )代替导数。本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。
关键词: 二分法;牛顿迭代法;割弦法;非线性方程
目录
第一章绪论 ……………………………………………………1
第二章求解非线性方程的三种常见算法 …………………………… 2
二分法 ………………………………………………………2
牛顿迭代法 ……………………………………………………3
割弦法 ………………………………………………………5
第三章求解非线性方程的三种算法比较 ……………………………6
二分法求解方法 ………………………………………………6
牛顿迭代法求解 ……………………………………………… 8
割弦法求解 ……………………………………………………9
参考文献 …………………………………………………… 12
第一章绪论
在科技飞速发展的今天,计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了,在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色,而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一,其应用范围已渗透到所有科学领域,作为科学与工程计算的数学工具,计算方法已成为高等院校数学与应用数学,信息与计算科学,应用物理学等必修课。 在永恒变化发展的自然界与人类社会中,在研究其内部规律的各个科学领域中,更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一,就是非线性方程。非线性代数是研究大规模离散数据的运算处理与内在性状的数学科学,科学技术离不开数据处理与数据分析,因此非线性代数具有广泛的应用。无论在物理学、力学、化学、控制论等科学领域中,非线性方程屡见不鲜。就是在生命科学领域中,也是用非线性方程来描述生命过程中的能量、信息、物质等传递过程的。因此,对非线性方程的求解自然就是一个非常重要了。然而求解非线性方程有很多种方法,每种方法都有自己的优缺点。
目前已有的数学软件可以帮助我们实现上机计算,基本上已经将数值分析的主要内容设计成简单的函数,只要调用这些函数进行运算便可得到数值结果。非线性代数中许多数值计算与计算机结合,才能得到更很好,更快,更精准的结果。为了将计算机与线性代数方程组更好的结合在一起,本文做了比较全面的的解说。本文比较全面的介绍了现代计算机科学与工程计算中常见的数值计算方法,对这些数值计算方法的基本理论与实际计算机实践应用进行了详细的分析,同时还简要的分析了这些数值算法的计算效果,稳定性,收敛效果,适用范围以及优劣性与特点。本文着重于化抽象为具体,引用一个具体的非线性方程用发散性的思维对其进行彻底的分析,主要有:
①引入一个非线性方程,分别运用三种思想进行分析,得到三种解法的根本思想;
②把数学方法与数学思想提出来,并进行简洁易懂的理论证明,既突出了线性代数的理论和基本思想,又可以帮助读者对该数学方法的理解;
③给出各种算法的循环思想以及流程图,展现出一个清新的框架在读者面前;
④基于c语言的基础上,写出可执行的代码。
⑤对各种算法得到的结果进行比较分析。
第二章求解非线性方程的三种常见算法
二分法
单变量函数方程:
f(x)=0
其中,f(x)在闭区间[a,b]上连续、单调,且f(a)*f(b)<0,则有函数的介值定理可知,方程f(x)=0在(a,b)区间内有且只有一个解,二分法是通过函数在区间端点的符号来确定
所在区域,将有根区间缩小到充分小,从而可以求出满足给定精度的根的近似值。
下面研究二分法的几何意义:
设=1, =b, 区间,中点= 及,若=0,则,若 f()*f()<0,令=,=,则根[,]中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[,],若 f()*f()<0,令=,=,则根[,]中,这样就得到长度缩小一半的有根区间[,],即f()f()<0,此时-=,对有根区间[,]重复上述步骤,即分半求中点,判断中电处符号,则可得长度有缩小一半的有根区间[,],
如图所示