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第五章弹性力学的求解方法和一般性原理

    通过弹性力学课程学****我们已经推导和确定了弹性力学的基本方程和常用公式。本章的任务是对弹性力学所涉及的基本方程作一总结,并且讨论具体地求解弹性力学问题的方法。
弹性力学问题的未知量有位移、应力和应变分量,共计15个,基本方程有平衡微分方程、几何方程和本构方程,也是15个。面对这样一个庞大的方程组,直接求解显然是困难的,必须讨论问题的求解方法。根据这一要求,本章的主要任务有三个:
    一是综合弹性力学的基本方程,并按边界条件的性质将问题分类;
    二是根据问题性质,确定基本未知量,建立通过基本未知量描述的基本方程,得到基本解法。弹性力学问题的基本解法主要是位移解法、应力解法和混合解法等。应该注意的是对于应力解法,基本方程包括变形协调方程。
    三是介绍涉及弹性力学求解方法的一些基本原理。主要包括解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理等,这些原理将为今后的弹性力学问题解建立基础。
    如果你在学****本章内容时有困难,请及时查阅和复****前三章相关内容,以保证今后课程的学****br/>二. 重点
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3. 应力解法与应力表示的变形协调方程;4. 混合解法;
5. 逆解法和半逆解法;6. 解的唯一性原理、叠加原理和圣维南原理
知识点
弹性力学基本方程边界条件位移表示的平衡微分方程应力解法
体力为常量时的变形协调方程物理量的性质逆解法和半逆解法
解的迭加原理弹性力学基本求解方法位移解法位移边界条件
变形协调方程混合解法应变能定理解的唯一性原理圣维南原理
§ 弹性力学的基本方程及其边值问题
学****思路:
    通过应力状态、应变状态和本构关系的讨论,已经建立了一系列的弹性力学基本方程和边界条件。本节的主要任务是将基本方程和边界条件作综合总结,并且对求解方法作初步介绍。
    弹性力学问题具有15个基本未知量,基本方程也是15个,因此问题求解归结为在给定的边界条件下求解偏微分方程。
    由于基本方程与15个未知量的内在联系,例如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量;反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。基于上述的理由,为简化求解的难度,可以选取部分未知量作为基本未知量求解。
    根据基本未知量,弹性力学问题可以分为应力解法、位移解法和混合解法。
    上述三种求解方法对应于偏微分方程的三种边值问题。
学****要点:
    1. 弹性力学基本方程;    2. 本构方程;
    3. 边界条件;    4. 弹性力学边值问题;
首先将弹性力学基本方程综合如下:
    1. 平衡微分方程 
       用张量形式描述      
    2. 几何方程   
       用张量形式描述        
       变形协调方程 
-广义胡克定律   
    用应力表示的本构方程
    用应变表示的本构方程 
:   
    如果物体表面的面力Fsx,Fsy,Fsz为已知,则边界条件应为:
称为面力边界条件,用张量符号表示为
    如果物体表面的位移已知,则边界条件应为
称为位移边界条件。除了面力边界条件和位移边界条件,还有混合边界条件。
    综上所述,弹性力学的基本未知量为三个位移分量,六个应力分量和六个应变分量,共计十五个未知量。基本方程为三个平衡微分方程,六个几何方程和六个物理方程,也是十五个基本方程。
    这里没有考虑变形协调方程,原因是位移已经作为基本未知量。对于任意的单值连续的位移函数,如果设其有三阶的连续导数,则变形协调方程仅仅是几何方程微分的结果,自然地满足,所以位移作为基本未知量时,不需要考虑变形协调方程。
要使基本方程有确定的解,还要有对应的面力或位移边界条件。 
弹性力学的任务就是在给定的边界条件下,就十五个未知量求解十五个基本方程。
当然,具体求解弹性力学问题时,并不需要同时求解十五个基本未知量,可以而且必须做出必要的简化。根据几何方程和本构方程可见,位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。
    假如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量。反之,如果已知应力分量,也可通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补充方程,即变形协调方程。
    基于上述的理由,为简化求解的难度,选取部分未知