张静（老师）数字信号处理实验教案.doc

实验一用递推法解差分方程以及用线性卷
积法求线性时不变系统的输出
一、实验目的
1. 学****用递推法求解差分方程的方法。
2. 学****用线性卷积法求网络输出的方法。
二、实验原理
一般网络或系统用线性常系数差分方程描述,如果已知差分方程和输入信号,用递推法求解差分方程或者求网络输出,最适合用计算机求解。但要注意N阶差分方程要预先给定N个初始条件。下面用例子说明用递推法求解差分方程的方框图。例如一个二阶差分方程如下y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+b0x(n)+b1x(n-1)式中,系数a1、 a2、 b0、 b1为已知系数,x(n)是输入序列。设x(n)是因果序列,x(-1)=0,从n=0 开始递推。当n=0时,y(0)=a1y(-1)+a2y(-2)+b0x(0)+b1x(-1)=a1y(-1)+a2y(-2)+b0x(0)式中, y(-1)和y(-2)是两个初始条件,要预先给定。这样求解网络输出的计算框图如图1所示。
图1 用递推法求解差分方程的框图
已知h(n)和输入x(n),求系统输出y(n),可以用线性卷积法进行。线性卷积的公式如下:

计算时,关键问题是根据x(n)和h(n)的特点,确定求和的上下限。例如, h(n) =(n), x(n) =R10 (n), 卷积公式为
根据上式中的R10 (n),限制非零区间为: 0≤m≤9,由u(n)限制非零区间为: m≤n。
由上面的不等式知道m的取值与n有关,可以分几种情况:
当n<0时,y(n)=0
当0≤n<9时,

当n≥9时,


最后得到:
三、实验用MATLAB函数介绍
1. conv功能: 计算离散卷积、多项式相乘。
调用格式: yn=conv(hn, xn)计算向量hn和xn的卷积,卷积结果向量为yn。如果用N和M分别表示hn和xn的长度,则yn的长度为N+M-1。如果hn和xn表示两个多项式的系数向量,则yn为两个多项式乘积的系数向量。
例如,程序: hn=[1, 1, 1, 1]; xn=[1, 1, 1, 1]; yn=conv(hn, xn);
运行结果为yn=[1 2 3 4 3 2 1]
2. Impz功能: 计算数字滤波器的单位脉冲响应。
调用格式: [hn, n]=impz(B, A): 计算出单位脉冲响应列向量hn,并返回时间列向量n。自动选择hn的样点数。调用参数B和A分别为数字滤波器系统函数H(z)的分子和分母多项式系数向量。[hn, n]=impz(B, A, N): 计算出单位脉冲响应N个样值。如果N是一个整数向量,则仅计算出这些整数点的单位脉冲响应样值。如果调用时无输出参数,则完成相应的计算功能,并自动调用stem(n, hn)绘图。其他调用格式用help命令查看。
例如,本实验中,系统的差分方程y1(n)=(n-1)+x(n)对应的系统函数为
计算出单位脉冲响应50个样值,并给出绘图的程序如下:
B=1; A=[1, -]; impz(B, A, 50);
运行结果如图2所示。
图2
四、实验内容
1. 已知系统的差分方程如下式: y1(n)=(n-1)+x(n)
输入信号x(n)=R10 (n),初始条件y1(-1)=1,试用递推法求解输出y1(n);
理论分析如下:
y1(0)=(-1)+x(0)=*1+1=
y1(1)=(0)+x(1)=*+1=
y1(2)=(1)+x(2)=*+1=
y1(3)=(2)+x(3)=*+1=
程序如下:clear
close all
x=[0,ones(1,10)];
y=zeros(1,11);
y(1)=1;
for i=1:10
y(i+1)=*y(i)+x(i+1);
end
stem([-1:9],y)
title('y1(n)')
xlabel('n'),ylabel('y');
结果如图3:
图3
经过分析由以上程序实现的结果与实际理论一样。
(2)输入信号x(n)=R10 (n),初始条件y1(-1)=0,试用递推法求解输出y1(n)。
理论分析如下:
y1(0)=(-1)+x(0)=*0+1=1
y1(1)=(0)+x(1)=*1+1=
y1(2)=(1)+x(2)=*+1=
y1(3)=(2)+x(3)=*+1=
程序如下: clea