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空间立体体积的计算方法
摘要:空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法.
关键词:积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数
引言
空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,.
其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,[10]则主要是对部分方法作出了总结,,,则能使一些复杂的问题简单化,,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题.
空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,,,最后还介绍了求解空间立体体积的物理方法,充分展示了空间立体体积计算方法的多样性及灵活性,特别是积分思想在此领域的运用,有力地拓展了求解立体体积的思路.

在中学阶段,对于空间立体体积的计算,我们常遇到的一般都是规则的立体,对于这些规则立体,,.
例1 计算长为,宽为,高为的长方体的体积.
解由长方体体积计算公式:长方体体积=
.
若例1中长=宽=高=时,则长方体就变为正方体,且正方体体积为
.
例2 计算椭球体的体积.
解由公式知所求椭球体体积为
.
若例2椭球中,则椭球就变为球,则球的体积为.
例3 计算底面半径为,高为的圆柱体体积.
解由圆柱体体积计算公式:圆柱体体积=
例4 计算底面半径为,高为的圆锥体体积.
解由圆锥和圆柱间关系知圆锥体体积计算公式为:圆锥体体积=底面积高,则所求体积为


用定积分计算空间立体的体积
当空间立体是旋转体或垂直于坐标轴的截面面积已知时,可用定积分计算其体积.
已知平行截面面积的立体体积的计算
设为三维空间中的位于上的立体,若的平行截面面积函数为,则的体积为
.
例5 把长方体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例1中长方体的体积.
解如图一所示对长方体建立三维直角坐标系,则以平面截长方体截面即为以长,以为宽的长方体,则其面积.
故由公式(1)求得长方体体积为



图一
例6 把椭球体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例2中椭球的体积.
解所给椭球,其椭球面方程为,以平面截椭球面,得椭球在平面上的正投影:
.
化椭球为参数方程
则由曲线所围图形的面积公式,求得此椭圆所围面积为
.
故其截面面积函数为
于是由公式求得椭球体积为
.
显然,当时,这就等于球的体积.
例7 把圆柱体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例3中圆柱体的体积.
解如图二所示以圆柱体底面圆心为坐标原点,以底面两互相垂直方向分别为轴及轴方向,以下底面圆心到上底面圆心方向为轴方向,,得截面即为以为半径的圆,故截面面积为
故由公式(1)求得圆柱体体积为



图二
例8 把圆锥体看作已知平行截面面积的立体运用定积分法计算例4中圆锥体的体积.
解如图三所示,若以平面截圆锥体,得截面即为以为半径的圆,故截面面积为
故由公式(1)求得圆柱体体积为


图三
旋转体体积的计算
设是上的连续函数,是由平面图形
绕轴旋转一周所得的旋转体,那么易知截面面积函数为