高等数学建模案例集.d.doc

《高等数学》案例集
第一章函数与极限
(一)建立函数关系的的案例
零件自动设计要求,需确定零件轮廓线与扫过的面积的函数关系。已知零件轮廓下部分为长,宽的矩形ABCD,上部分为CD圆弧,其圆心在AB中点O。如下图所示。M点在BC、CD、DA上移动,设BM=x,OM所扫过的面积OBM(或OBCM或OBCDM)为y,试求y=f(x)函数表达式,并画出它的图象。
D
M
M
C
M
A
B
解:
(二)极限
1、一男孩和一女孩分别在离家2公理和1公理且方向相反的两所学校上学,每天同时放学后分别以4公理/小时和2公理/小时的速度步行回家,一小狗以6公理/小时的速度由男孩处奔向女孩,又从女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,问小狗奔波了多少路程? 若男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间,问当他们到达学校时小狗在何处?
解:(1) 男孩和女孩到校所需时间是半小时,也即小狗奔波了半小时,故小狗共跑了3公里。
(2)设x(t),y(t),z(t)分别表示t时刻男孩、女孩、小狗距家的距离,
吸了蓝墨水的海绵
一块海绵,不小心掉进蓝墨水缸。连忙捡拾捡起,把吸入的蓝墨水挤出来。但无论怎样挤,海绵中总要存留一些蓝墨水。假定我们这块海绵对于密度在1 左右的溶液(比方说蓝墨水、清水、红墨水溶液)的存留量为10克。现打算用100克的清水对这块海绵吸有10克蓝墨水的海绵进行清洗。问怎样进行清洗,才能使海绵中蓝墨水尽量少?
(二)连续函数性质
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山,下午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下山,下午5时回到山下旅店。某乙说,?
第三章中值定理与导数应用
1、陈酒出售的最佳时机问题
某个酒厂有一批新酿的好酒,如果现在就出售,可得总收入 R0=50万元。如果窖藏起来待来年(第n年)按陈酒价格出售,第n年末可得总收入为R=R0万元,而银行利率为r=,试在各种条件下讨论这批好酒的出售方案。
若银行利率开始为r=,,请给出最佳出售方案。
2、航空公司因业务需要,需要增加一架波音客机,如果购买需要一次支付6000万美元现金,客机的使用寿命为15年,如果租用一架客机,每年要支付600万美元的租金,租金每年年末支付,若银行年利率为8%,请问购买客机与租用客机那种方案较佳?如果银行的年利率为5%呢?
2. 梯子长度问题
一楼房的后面是一个很大的花园。在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的. 现清洁工只有一架7m长的梯子, 你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?
解:function f=fun(x)
f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)
%设温室以上的梯子长度为a,温室的长为x,高为y,则梯子的长为a+y*a/sqrt(a*a-x*x).
%min b=a+y*a/sqrt(a*a-x*x)
[x,fval]=fminbnd('hui2',3,12);
xmin=x
fmin=fval
运行结果:f =Inf  f =  xmin =  fmin =
3、普勒与酒桶问题
德国的开普勒是一位出色的天文学家,同时也是一位卓越的数学家。他于1965年出版了《葡萄酒桶的立体几何》一书。为什么取这样一个书名?据说开普勒把自己求许多图形的面积方法,与成一本书,可苦于找不到一个好的书名。有一天,他到酒店去喝酒,发现奥地利的葡萄酒桶,和他家乡莱茵的葡萄酒桶不一样,他想奥地利的葡萄酒桶为什么要做成这样呢?高一点好不好?扁一点行不行?
第五章、定积分
1、天然气产量的预测
工程师们已经开始从墨西哥的一个新井开采天然气,根据初步的试验和以往的经验,他们预计天然气开采后的第t个月的月产量的函数给出:
(百万立方米), 试估计前24个月的总产量。
提示:前24个月的总产量为,因为计算这个和式比较难,应用定积分来估计它。令, ,
则,且,从而为递增函数。
答案: (百万立方米)
2、终身供应润滑油所需的数量
某制造公司在生产了一批超音速运输机之后停产了。但该公司承诺将为客户终身供应一种适于改机型的特殊润滑油。一年后该批飞机的用油率(单位升/年)又下式给出:其中表示飞机服役的年数,该公司要一次性生产该批飞机一年后所需的润滑油并在需要时分发出去,请问需要生产该润滑油多少升?
提示:是该批分级一年后的用油率,所以等于第一年到第 n年间该批飞机所需的润滑油的