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离散时间随机过程的功率谱密度
前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相关性质,并得出重要的关系式:(维纳—辛钦公式)
随着快速傅里叶变化(FFT)算法出现以及数字信号处理(DSP)芯片的飞速发展,对离散时间随机过程的研究就显得非常重要。
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一离散时间随机过程的功率谱密度
1 平稳离散时间随机过程的相关函数
设X(n)为广义平稳离散时间随机过程,或简称为广义平稳随机序列,具有零均值。 X(n)可以看作对连续时间随机过程进行采样得到的信号,采样间隔,即。
X(n)自相关函数为:
简写为:
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2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列的傅里叶变换存在的充要条件是满足绝对可和条件:即
定义的功率谱密度为序列的傅里叶变换,并记为
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是频率为的周期性连续函数,其周期为
T是随机序列相邻各值的时间间隔。
奈奎斯特频率
因为为周期函数,周期为
在时
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3 谱分解
① z变换定义
在离散时间系统的分析中,常把广义平稳离散时间随机过程的功率谱密度定义为的z变换,并记为,即
式中
式中,D为在的收敛域内环绕z平面原点逆时针旋转的一条闭合围线。
为的逆z变换
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②性质:
(因为)
③谱分解定理
设X(n)是广义平稳实离散随机过程,具有有理功率谱密度函数。则可分解为:
其中
包含了单位圆之内的全部零点和极点
包含了单位圆之外的全部零点和极点
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例设,求和
解
将代人上式,即可求得
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连续时间
平稳随机过程
离散时间
平稳随机过程
自相关函数
功率谱密度
功率谱密度
自相关函数

FT
DFT


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连续时间
确知信号
离散时间
确知信号
采样
香农采样定理
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平稳随机过程的采样定理
其中, 为采样周期, 为在时对的采样。
1 确知信号的采样定理(香农采样定理)
设为一确知、连续、带限的实信号,其频带范围,当采样周期时即频率时, 可唯一由其抽样点确定(恢复)。