2011南京理工自主招生数学试卷.doc

数学自主招生、保送生考试数学试卷
填充题:本大题共20小题,每小题5分,.
,则▲
“”是假命题,则实数的取值范围为▲.
:,,则当切线长最短时,点的坐标为▲
▲
,得到如下表所示的数据.
观测次数
1
2
3
4
5
6
7
8
观测数据
40
42
41
44
44
45
47
48
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是▲
:与的夹角为,则的取值范围为▲
7. 已知正三棱柱的底面边长为1,两侧面的异面的对角线互相垂直,则该三棱柱的侧棱长为▲
,每年都既有现金投入,,以后每年投入将比上年减少20%;2010年度公司收入了500万元,以后每年收入会比上年增加25%.按此计算,公司将于▲年即可收回全部投入.
(参考数据:)
,为椭圆上任意一点,为内切圆圆心,点满足且(且),则椭圆的离心率是▲
,其中、、是非零向量,且、不共线,则该方程实数解的个数为
▲个
,则实数的取值范围为▲
,若函数存在整数零点,则的取值范围为▲
,例如:▲
:,且,则的通项公式为▲
15. 已知为正常数,,若的最大值为,且,则的取值范围为▲
.(),那么下面命题中真命题的序号是▲:
①的最大值为;②的最小值为; ③在上是减函数; ④在上是减函数.
,若且在区间上的最小值为,则▲
,且对任意的,当时,总有,则下列不等式一定成立的是▲(填上你认为正确的结论的序号):
①; ②; ③; ④
,、两点之间的“直角距离”为,若点在直线上运动,,直线的方程为,则的最大值为▲
,若在上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为,则▲.
:本大题共6小题,、证明过程或演算步骤.
21.(本小题满分14分)
在锐角中,角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)求的最大值.
22.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,,,侧面为等边三角形,侧棱,为中点.
(Ⅰ)求证:⊥;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
23.(本小题满分14分)
某商场以100元/件的价格购进一批衬衣,以高于进货价的价格出售,销售期有淡季与旺季之分,通过市场调查发现:
①销售量(件)与衬衣标价(元/件)在销售旺季近似地符合函数关系:,在销售淡季近似地符合函数关系:,其中为常数;
②在销售旺季,商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润;
③若称①中时的标价为衬衣的“临界价格”,则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.