考研数学强化班高等数学讲义汤家凤.doc

第一讲极限与连续主要内容概括(略)重点题型讲解一、极限问题类型一::(1);(2);(3);:(1);:(1);(2);(3)。类型二::(1);(2);:(1);(3);(4);类型三::(1);(2);(3);(4);(5);(6)设,求。:类型四:极限存在性问题:,证明数列收敛,并求。、非负、连续,,证明:存在。类型五:夹逼定理求极限问题:;2.;3.。类型六:含参数的极限问题:,求;,求;类型七:中值定理法求极限:1、;2、。类型八:变积分限函数求极限:1、。2、设连续,且,则。二、,讨论函数在处的连续性。。三、,证明在上有界。,任取,证明:存在,使得。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复****略)重点题型讲解(一),求。,且,求。,对任意的有,且,求。,且,,则。,且对任意的有,又当时,有,讨论在处的可导性。(二),求;,求;3.,求;,求;,求;,求;,求;,求;:(1)设,求;(2)设,求;,,且,求,并讨论在处的连续性。,其中二阶可导且。(1)当为何值时,在处连续;(2)求;(3)研究在处的连续性。解答:(1),于是当时,在处连续。(2)当时,,即;当时,,于是。(3)因为,所以在处连续。,在处二阶可导,且,求。,求,并讨论的连续性和可导性。(三),求;,求。,求。第二部分一元函数微分学的应用内容复****略)附:,则有。2.(导数零点定理)设,在内可导,且,则存在,使得。3.(导数介值定理)设设,在内可导,且,不妨设,则对任意的,存在,使得。,且,则有,等号成立当且仅当。重点题型讲解(一)中值定理等式的证明类型一:目标表达式中仅含不含端点字母,,在内可导,且,证明:存在,使得。,且,证明:存在,使得。,在内可导,。证明:(1)存在,使得;(2)对任意的,存在,使得。类型二:,在内可导,且,证明:存在,使得。,在内可导,,证明:存在,使得。,在内可导,且,证明:对任意的正数,存在,使得。,在内可导(),证明:存在,使。类型三:,在内可导,且,证明:存在,使得。类型四:,在内可导,且,,证明:存在,使得。,且,证明:存在,使得。,且,证明:存在,使得。类型五:目标表达式为(其中为常数),在内二阶连续可导,证明:存在,使得。,且,证明:存在,使得。,函数在上有阶导数,并满足,则对每个,存在满足等式。(二)中值定理不等式的证明1.,在内可导,,且不是常数,证明:存在,使得。,在内可导,且曲线非直线,证明:存在,使得。3.,在内二阶可导,且,证明:存在,使得。,且在内取到最小值,证明:。,且,证明:。,,对任意的()及(),证明:。,证明:。,证明:对任意的,有。,且,证明:存在,使得。,且,证明:对此邻域内任一不同于的,有,其中是关于的对称点。,且,证明:对任意的,有。,移动了单位距离使用了单位时间,且初速度和末速度都为零。证明:在运动过程中存在某个时刻点,其加速度绝对值不小于4。(三),且,又()。证明:。,证明:。(四)与极值、,满足,且,证明:。。(五),证明:当时,。:。:当时,有。,证明:。,证明。(六)。,且,证明:在内有且仅有一个根。。(七),且,则()(A)是的极大值.(B)是的极小值.(C)是曲线的拐点.(D)不是的极值