考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤.doc

第一讲极限与连续
主要内容概括(略)
重点题型讲解
一、极限问题
类型一:连加或连乘的求极限问题
:
(1);
(2);
(3);
:
(1);
:
(1);
(2);
(3)。
类型二:利用重要极限求极限的问题
:
(1); (2);
:
(1);
(3); (4);
类型三:利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题
:
(1); (2);
(3); (4);
(5);
(6)设,求。
:
类型四:极限存在性问题:
,证明数列收敛,并求。
、非负、连续,,证明:存在。
类型五:夹逼定理求极限问题:
;
2.;
3.。
类型六:含参数的极限问题:
,求;
,求;
类型七:中值定理法求极限:
1、;
2、。
类型八:变积分限函数求极限:
1、。
2、设连续,且,则。
二、连续与间断的判断
,讨论函数在处的连续性。
。
三、连续性命题的证明
,证明在上有界。
,任取,证明:存在,使得
。
第二讲微分学
第一部分一元函数微分学
内容复****略)
重点题型讲解
(一)与导数定义相关的问题
,求。
,且,求。
,对任意的有,且,求。
,且,,则。
,且对任意的有,又当时,有,讨论在处的可导性。
(二)各类求导数的问题
,求;
,求;
3.,求;
,求;
,求;
,求;
,求;
,求;
:
(1)设,求;
(2)设,求;
,,且,求,并讨论在处的连续性。
,其中二阶可导且。
(1)当为何值时,在处连续;(2)求;(3)研究在处的连续性。
解答:
(1)
,
于是当时,在处连续。
(2)当时,
,
即;
当时,,于是
。
(3)因为
,
所以在处连续。
,在处二阶可导,且,求。
,求,并讨论的连续性和可导性。
(三)高阶导数问题
,求;
,求。
,求。
第二部分一元函数微分学的应用
内容复****略)
附:中值定理部分的推广
,则有
。
2.(导数零点定理)设,在内可导,且,则存在,使得。
3.(导数介值定理)设设,在内可导,且,不妨设,则对任意的,存在,使得。
,且,则有
,等号成立当且仅当。
重点题型讲解
(一)中值定理等式的证明
类型一:目标表达式中仅含不含端点字母,且导数之间相差一阶
,在内可导,且,证明:存在,使得。
,且,证明:存在,使得
。
,在内可导,。证明:
(1)存在,使得;
(2)对任意的,存在,使得
。
类型二:目标表达式中含两个中值
,在内可导,且,证明:存在,使得。
,在内可导,,证明:存在,使得
。
,在内可导,且,证明:对任意的正数,存在,使得。
,在内可导(),证明:存在,使
。
类型三:目标表达式中含有端点和中值
,在内可导,且,证明:存在,使得
。
类型四:目标表达式为
,在内可导,且,,证明:存在,使得。
,且,证明:存在,使得。
,且,证明:存在,使得。
类型五:目标表达式为(其中为常数)
,在内二阶连续可导,证明:存在,使得
。
,且,证明:存在,使得。
,函数在上有阶导数,并满足
,则对每个,存在满足等式
。
(二)中值定理不等式的证明
1.,在内可导,,且不是常数,证明:存在,使得。
,在内可导,且曲线非直线,证明:存在,使得。
3.,在内二阶可导,且,证明:存在,使得。
,且在内取到最小值,证明:
。
,且,证明:。
,,对任意的()及(),证明:
。
,证明:。
,证明:对任意的,有。
,且,证明:存在,使得
。
,且,证明:对此邻域内任一不同于的,有
,
其中是关于的对称点。
,且,证明:对任意的,有。